Determine um fator integrante e resolva.
, sen
;
Resp. c)
,
Resp. c)
Passo 1
Beleza, vamos nessa! O enunciado pede para encontrar um fator integrante e resolver a equação diferencial
, sabendo que
. Isso está dentro do conteúdo de equações diferenciais exatas e fator integrante, que nos ajuda a tornar a equação exata para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
na equação dada:
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, calculamos as derivadas parciais:
Vemos que
, então a equação não é exata. Precisamos encontrar um fator integrante
que torne a equação exata.
Passo 4
Assumimos que o fator integrante depende apenas de
, ou seja,
. Multiplicamos a equação original por
:
Passo 5
Para que a equação seja exata após multiplicar pelo fator integrante, deve valer:
Calculando as derivadas:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 6
Rearranjando os termos:
Isso resulta em:
Passo 7
Integrando ambos os lados:
(onde
é uma constante, que podemos considerar como 1 para simplificar)
Então, o fator integrante é
.
Passo 8
Multiplicamos a equação original pelo fator integrante:
Passo 9
Agora, a equação é exata. Encontramos uma função potencial
tal que:
Integrando em relação a
:
Para encontrar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
à segunda função:
Isso implica que
, então
é uma constante.
Resposta
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