Determine um fator integrante e resolva. , sen ;
Resp. c) ,

Passo 1

Beleza, vamos nessa! O enunciado pede para encontrar um fator integrante e resolver a equação diferencial , sabendo que . Isso está dentro do conteúdo de equações diferenciais exatas e fator integrante, que nos ajuda a tornar a equação exata para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e na equação dada:

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, calculamos as derivadas parciais:
Vemos que , então a equação não é exata. Precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.

Passo 4

Assumimos que o fator integrante depende apenas de , ou seja, . Multiplicamos a equação original por :

Passo 5

Para que a equação seja exata após multiplicar pelo fator integrante, deve valer:
Calculando as derivadas:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 6

Rearranjando os termos:
Isso resulta em:

Passo 7

Integrando ambos os lados:
(onde é uma constante, que podemos considerar como 1 para simplificar)
Então, o fator integrante é .

Passo 8

Multiplicamos a equação original pelo fator integrante:

Passo 9

Agora, a equação é exata. Encontramos uma função potencial tal que:
Integrando em relação a :
Para encontrar , derivamos em relação a e igualamos a à segunda função:
Isso implica que , então é uma constante.

Resposta

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