Identifique qual superfície as equações paramétricas estão representando. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para identificar qual superfície está sendo representada pelas equações paramétricas dadas: . A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, especificamente o estudo de superfícies no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos analisar cada componente da equação paramétrica e ver como elas se relacionam para formar uma superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada componente da vetorial representa:
  • : Isso significa que pode ser qualquer valor real, dependendo de .
  • : Aqui, o varia de acordo com o seno de , multiplicado por uma constante .
  • : Similarmente, o varia de acordo com o cosseno de , também multiplicado por .

Passo 3

Vamos observar as relações entre e . Se eliminarmos , podemos usar a identidade trigonométrica . Substituindo e :
Isso simplifica para:
Essa é a equação de um círculo no plano com raio .

Passo 4

Agora, vamos considerar a variável . Não há restrição para , então pode assumir qualquer valor real. Isso significa que o círculo é repetido para todos os valores de .

Passo 5

Quando uma figura geométrica, como um círculo, é repetida ao longo de uma direção sem alteração, formamos uma superfície chamada cilindro. Neste caso, o círculo está se movendo ao longo do eixo .

Resposta

A superfície representada pelas equações paramétricas é um cilindro circular ao longo do eixo com raio igual a .

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Resp. c) ,
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Resp. .