Identifique qual superfície as equações paramétricas estão representando.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para identificar qual superfície está sendo representada pelas equações paramétricas dadas:
. A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, especificamente o estudo de superfícies no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos analisar cada componente da equação paramétrica e ver como elas se relacionam para formar uma superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada componente da vetorial
representa:
-
: Isso significa que pode ser qualquer valor real, dependendo de . -
: Aqui, o varia de acordo com o seno de , multiplicado por uma constante . -
: Similarmente, o varia de acordo com o cosseno de , também multiplicado por .
Passo 3
Vamos observar as relações entre
e
. Se eliminarmos
, podemos usar a identidade trigonométrica
. Substituindo
e
:
Isso simplifica para:
Essa é a equação de um círculo no plano
com raio
.
Passo 4
Agora, vamos considerar a variável
. Não há restrição para
, então
pode assumir qualquer valor real. Isso significa que o círculo
é repetido para todos os valores de
.
Passo 5
Quando uma figura geométrica, como um círculo, é repetida ao longo de uma direção sem alteração, formamos uma superfície chamada cilindro. Neste caso, o círculo está se movendo ao longo do eixo
.
Resposta
A superfície representada pelas equações paramétricas é um cilindro circular ao longo do eixo
com raio igual a
.
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Determine um fator integrante e resolva.
, sen
;
Resp. c) ,
Resp. c)
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Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial.
.
Resolva as seguintes EDO não homogêneas.
;
Resp. .
Resp.