Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial. F(x, y, z) = e^x sen(y) i + e^y sen(z) j + e^z sen(x) k.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar o rotacional e o divergente do campo vetorial . Isso faz parte do cálculo vetorial, onde usamos derivadas parciais pra descobrir essas propriedades do campo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o divergente de . O divergente de um campo vetorial é dado por:
Então, a gente precisa encontrar as derivadas parciais de cada componente em relação à sua variável.

Passo 3

Vamos lá:

Passo 4

Agora, somamos essas derivadas parciais pra encontrar o divergente:

Passo 5

Beleza, agora vamos calcular o rotacional de . O rotacional é dado por:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.

Passo 6

Calculando cada termo:
  • (porque não tem y)
  • (porque não tem z)
  • (porque não tem x)

Passo 7

Substituindo na fórmula do rotacional:
Simplificando:

Resposta

O divergente de é:
E o rotacional de é:

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