Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar o rotacional e o divergente do campo vetorial
. Isso faz parte do cálculo vetorial, onde usamos derivadas parciais pra descobrir essas propriedades do campo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o divergente de
. O divergente de um campo vetorial
é dado por:
Então, a gente precisa encontrar as derivadas parciais de cada componente em relação à sua variável.
Passo 3
Vamos lá:
Passo 4
Agora, somamos essas derivadas parciais pra encontrar o divergente:
Passo 5
Beleza, agora vamos calcular o rotacional de
. O rotacional é dado por:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.
Passo 6
Calculando cada termo:
-
(porque não tem y) -
-
(porque não tem z) -
-
(porque não tem x) -
Passo 7
Substituindo na fórmula do rotacional:
Simplificando:
Resposta
O divergente de
é:
E o rotacional de
é: