Determine o fator integrante e resolva as seguintes equações diferenciais:
(f)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial do tipo . Nosso objetivo é encontrar o fator integrante e resolver essa equação. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais exatas e fatores integrantes que ajudam a transformar uma equação que não é exata em uma que é, facilitando a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação da forma é exata se . Aqui, temos:
Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata.

Passo 3

Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que depende apenas de uma das variáveis, digamos ou . Vamos tentar com .
A condição para ser fator integrante é:
Isso não depende apenas de , então não funciona. Vamos tentar .

Passo 4

Assumindo , a condição é:
Ainda depende de e , mas não é direto. Talvez a gente precise tentar outro método. Vamos tentar uma substituição.

Passo 5

Observando a equação, notamos que ela pode ser reorganizada como:
Podemos tentar uma substituição , onde . Diferenciando ambos os lados:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 6

Agora, temos uma equação separável:
Integrando ambos os lados:
Lembrando que :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Determine o fator integrante e resolva as seguintes equações diferenciais:
(a)
Mude a integral cartesiana para uma integral
Resolva as seguintes equações:
(b)