Determine o fator integrante e resolva as seguintes equações diferenciais:
(f)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial do tipo
. Nosso objetivo é encontrar o fator integrante e resolver essa equação. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais exatas e fatores integrantes que ajudam a transformar uma equação que não é exata em uma que é, facilitando a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação da forma
é exata se
. Aqui, temos:
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que depende apenas de uma das variáveis, digamos
ou
. Vamos tentar com
.
A condição para
ser fator integrante é:
Isso não depende apenas de
, então
não funciona. Vamos tentar
.
Passo 4
Assumindo
, a condição é:
Ainda depende de
e
, mas não é direto. Talvez a gente precise tentar outro método. Vamos tentar uma substituição.
Passo 5
Observando a equação, notamos que ela pode ser reorganizada como:
Podemos tentar uma substituição
, onde
. Diferenciando ambos os lados:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 6
Agora, temos uma equação separável:
Integrando ambos os lados:
Lembrando que
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Determine o fator integrante e resolva as seguintes equações diferenciais:
(a)
(a)
Mude a integral cartesiana para uma integral
Resolva as seguintes equações:
(b)
(b)