Resolva as seguintes equações:
(b)

Passo 1

Vamos começar entendendo a questão. Precisamos resolver a equação diferencial . O conteúdo envolvido aqui é de equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de substituição e resolver uma equação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação fazendo uma substituição. Vamos definir . Isso significa que . Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a :

Passo 3

Substituindo e na equação original:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por (assumindo que ):

Passo 4

Agora, vamos organizar a equação para deixá-la na forma de uma equação diferencial linear:
Simplificando:

Passo 5

Para resolver essa equação linear, vamos encontrar um fator integrante. O fator integrante é dado por:
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:

Passo 6

Observamos que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto . Assim:
Integramos ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Resolvendo para :

Passo 8

Lembrando que , temos:
Elevando ambos os lados ao quadrado:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Mude a integral cartesiana para uma integral
Determine o fator integrante e resolva as seguintes equações diferenciais:
(f)
Se e são soluções particulares da equação de Riccati, mostre que
onde é constante.
Verificar que as funções dadas formam um conjunto fundamental de soluções da equação homogênea correspondente. Depois, determinar uma solução particular da equação não homogênea: