Resolva as seguintes equações:
(b)
(b)
Passo 1
Vamos começar entendendo a questão. Precisamos resolver a equação diferencial
. O conteúdo envolvido aqui é de equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de substituição e resolver uma equação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação fazendo uma substituição. Vamos definir
. Isso significa que
. Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a
:
Passo 3
Substituindo
e
na equação original:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
(assumindo que
):
Passo 4
Agora, vamos organizar a equação para deixá-la na forma de uma equação diferencial linear:
Simplificando:
Passo 5
Para resolver essa equação linear, vamos encontrar um fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Passo 6
Observamos que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto
. Assim:
Integramos ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Resolvendo para
:
Passo 8
Lembrando que
, temos:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Mude a integral cartesiana para uma integral
Determine o fator integrante e resolva as seguintes equações diferenciais:
(f)
(f)
Se
e
são soluções particulares da equação de Riccati, mostre que
onde
é constante.
Verificar que as funções dadas formam um conjunto fundamental de soluções da equação homogênea correspondente. Depois, determinar uma solução particular da equação não homogênea: