Determine o fator integrante e resolva as seguintes equações diferenciais:
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é
. A matéria que vamos usar aqui é sobre fatores integrantes para resolver equações diferenciais exatas ou não exatas. Precisamos identificar um fator que, quando multiplicado na equação, a torna exata, ou seja, uma equação que pode ser resolvida facilmente através da integração.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão:
Aqui, temos:
Passo 3
Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 4
Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante. Vamos tentar um fator que depende apenas de
. A fórmula para o fator integrante
quando depende apenas de
é:
Plugando os valores:
Então, o fator integrante é
.
Passo 5
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando:
Passo 6
Agora, verificamos se a equação é exata novamente. Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação agora é exata.
Passo 7
Para resolver a equação exata, encontramos uma função
tal que:
Integrando
em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que
, então
é uma constante, que podemos chamar de
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Ou, simplificando:
Exercícios relacionados
Nos itens a seguir determine quais das equações são homogêneas e, em caso afirmativo, determine sua solução:
(g)
(g)
Determine o fator integrante e resolva as seguintes equações diferenciais:
(f)
(f)
Mude a integral cartesiana para uma integral