Determine o fator integrante e resolva as seguintes equações diferenciais:
(a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é . A matéria que vamos usar aqui é sobre fatores integrantes para resolver equações diferenciais exatas ou não exatas. Precisamos identificar um fator que, quando multiplicado na equação, a torna exata, ou seja, uma equação que pode ser resolvida facilmente através da integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão:
Aqui, temos:

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata.

Passo 4

Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante. Vamos tentar um fator que depende apenas de . A fórmula para o fator integrante quando depende apenas de é:
Plugando os valores:
Então, o fator integrante é .

Passo 5

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando:

Passo 6

Agora, verificamos se a equação é exata novamente. Calculamos as derivadas parciais:
Como , a equação agora é exata.

Passo 7

Para resolver a equação exata, encontramos uma função tal que:
Integrando em relação a :
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Isso implica que , então é uma constante, que podemos chamar de .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Ou, simplificando:

Exercícios relacionados

Nos itens a seguir determine quais das equações são homogêneas e, em caso afirmativo, determine sua solução:
(g)
Determine o fator integrante e resolva as seguintes equações diferenciais:
(f)
Mude a integral cartesiana para uma integral