Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais. Indique a solução particular da equação não homogênea:
,
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a equação diferencial
. O que isso significa? Estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação, que é a soma da solução da equação homogênea associada e de uma solução particular da equação não homogênea. Para resolver isso, precisamos usar métodos de resolução de equações diferenciais lineares, como o método dos coeficientes indeterminados.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação:
. Para isso, montamos a equação característica associada:
Resolvendo essa equação quadrática para
, encontramos as raízes:
Então, as soluções são
e
. Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação não homogênea
. Vamos lidar com cada termo do lado direito separadamente.
Para o termo
:
Assumimos uma solução da forma
. Derivando:
Substituindo na equação:
Então,
.
Para o termo
:
Como
já está presente na solução homogênea, precisamos multiplicar por
para evitar a duplicação. Assumimos uma solução da forma
. Simplificando, temos
.
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação diferencial:
Igualando os coeficientes, encontramos
e
. Portanto:
Passo 4
Agora, somamos as soluções particulares encontradas:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.