Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais. Indique a solução particular da equação não homogênea:
y'' - 2y' - 3y = 3e^(2t) - te^(-t),

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a equação diferencial . O que isso significa? Estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação, que é a soma da solução da equação homogênea associada e de uma solução particular da equação não homogênea. Para resolver isso, precisamos usar métodos de resolução de equações diferenciais lineares, como o método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação: . Para isso, montamos a equação característica associada:
Resolvendo essa equação quadrática para , encontramos as raízes:
Então, as soluções são e . Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea . Vamos lidar com cada termo do lado direito separadamente.
Para o termo :
Assumimos uma solução da forma . Derivando:
Substituindo na equação:
Então, .
Para o termo :
Como já está presente na solução homogênea, precisamos multiplicar por para evitar a duplicação. Assumimos uma solução da forma . Simplificando, temos .
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação diferencial:
Igualando os coeficientes, encontramos e . Portanto:

Passo 4

Agora, somamos as soluções particulares encontradas:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

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