Mude a integral cartesiana para uma integral
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mudar uma integral de coordenadas cartesianas para outra coordenada. A matéria que vamos usar aqui é Cálculo Integral, mais especificamente a troca de coordenadas Cartesiana para Coordenadas Polares. Para resolver isso, vamos precisar entender como converter os limites de integração e a função integranda para coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a região de integração na integral original:
Aqui,
varia de -1 a 1, e para cada
,
varia de
até 0. Isso descreve a parte esquerda do círculo de raio 1 centrado na origem.
Passo 3
Agora, vamos mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares,
e
, onde
é a distância da origem e
é o ângulo com o eixo positivo
.
Passo 4
Precisamos determinar os novos limites de integração em coordenadas polares. Como estamos cobrindo o lado esquerdo do círculo:
-
varia de 0 a 1 (o raio do círculo). -
varia de a radianos, cobrindo o lado esquerdo.
Passo 5
Também precisamos substituir a função integranda e o diferencial de área. A função
se transforma em
nas coordenadas polares. O denominador
vira
. Além disso, o diferencial de área
se transforma em
.
Passo 6
Substituindo tudo na integral original, temos:
Simplificando a expressão:
Resposta
A integral em coordenadas polares fica:
Exercícios relacionados
Determine o fator integrante e resolva as seguintes equações diferenciais:
(f)
(f)
Determine o fator integrante e resolva as seguintes equações diferenciais:
(a)
(a)
Resolva as seguintes equações:
(b)
(b)
Se
e
são soluções particulares da equação de Riccati, mostre que
onde
é constante.