Mude a integral cartesiana para uma integral integral-1^1 integral-raiz1-y^2^0 4 raizx^2+y^21+x^2+y^2 d x d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mudar uma integral de coordenadas cartesianas para outra coordenada. A matéria que vamos usar aqui é Cálculo Integral, mais especificamente a troca de coordenadas Cartesiana para Coordenadas Polares. Para resolver isso, vamos precisar entender como converter os limites de integração e a função integranda para coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região de integração na integral original:
integral-1^1 integral-raiz1-y^2^0 4 raizx^2+y^21+x^2+y^2 , dx , dy
Aqui, varia de -1 a 1, e para cada , varia de até 0. Isso descreve a parte esquerda do círculo de raio 1 centrado na origem.

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, e , onde é a distância da origem e é o ângulo com o eixo positivo .

Passo 4

Precisamos determinar os novos limites de integração em coordenadas polares. Como estamos cobrindo o lado esquerdo do círculo:
  • varia de 0 a 1 (o raio do círculo).
  • varia de a radianos, cobrindo o lado esquerdo.

Passo 5

Também precisamos substituir a função integranda e o diferencial de área. A função se transforma em nas coordenadas polares. O denominador vira . Além disso, o diferencial de área se transforma em .

Passo 6

Substituindo tudo na integral original, temos:
integralpi2^3pi2 integral0^1 4r1 + r^2 cdot r , dr , dtheta
Simplificando a expressão:
integralpi2^3pi2 integral0^1 4r^21 + r^2 , dr , dtheta

Resposta

A integral em coordenadas polares fica:
integralpi2^3pi2 integral0^1 4r^21 + r^2 , dr , dtheta

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