Mude a integral cartesiana para uma integral

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mudar uma integral de coordenadas cartesianas para outra coordenada. A matéria que vamos usar aqui é Cálculo Integral, mais especificamente a troca de coordenadas Cartesiana para Coordenadas Polares. Para resolver isso, vamos precisar entender como converter os limites de integração e a função integranda para coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região de integração na integral original:
Aqui, varia de -1 a 1, e para cada , varia de até 0. Isso descreve a parte esquerda do círculo de raio 1 centrado na origem.

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, e , onde é a distância da origem e é o ângulo com o eixo positivo .

Passo 4

Precisamos determinar os novos limites de integração em coordenadas polares. Como estamos cobrindo o lado esquerdo do círculo:
  • varia de 0 a 1 (o raio do círculo).
  • varia de a radianos, cobrindo o lado esquerdo.

Passo 5

Também precisamos substituir a função integranda e o diferencial de área. A função se transforma em nas coordenadas polares. O denominador vira . Além disso, o diferencial de área se transforma em .

Passo 6

Substituindo tudo na integral original, temos:
Simplificando a expressão:

Resposta

A integral em coordenadas polares fica:

Exercícios relacionados

Determine o fator integrante e resolva as seguintes equações diferenciais:
(f)
Determine o fator integrante e resolva as seguintes equações diferenciais:
(a)
Resolva as seguintes equações:
(b)
Se e são soluções particulares da equação de Riccati, mostre que
onde é constante.