Determine o fator integrante e resolva as seguintes equações diferenciais:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que é
. O nosso objetivo aqui é encontrar um fator integrante que ajude a resolver essa equação. Para isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais de primeira ordem e entender como aplicar fatores integrantes para torná-las mais fáceis de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes da equação. Aqui, temos:
Queremos verificar se essa equação é exata. Uma equação diferencial
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
. Vamos calcular:
Como
, a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.
Passo 3
Vamos procurar um fator integrante que seja função apenas de
ou apenas de
. Vamos checar se um fator que depende de
funciona.
A fórmula para o fator integrante
quando buscamos uma função de
é:
Substituindo os valores que encontramos:
Aqui percebemos que
depende de
, o que não é o que queríamos. Então, vamos tentar um fator que depende apenas de
.
Passo 4
Agora vamos tentar um fator integrante
. A fórmula para isso é:
Substituindo os valores:
Percebo que novamente o fator depende de
de uma forma complicada. Então, parece que precisamos revisar nossa abordagem.
Passo 5
Vamos simplificar. Como a equação não é exata, podemos reescrevê-la na forma padrão:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A gente pode resolver usando o método do fator integrante para equações lineares.
A equação tem a forma:
Comparando com a nossa, temos:
Passo 6
O fator integrante
para equações lineares é dado por:
Vamos calcular:
Para simplificar, podemos considerar
, então:
Passo 7
Multiplicamos toda a equação pela
:
Simplificando:
Isso se torna:
Passo 8
Integrando ambos os lados:
O que resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Determine a solução dos seguintes PVI:
©
©
Determine o fator integrante e resolva as seguintes equações diferenciais:
(h)
(h)
Resolva as seguintes equações:
(d)
(d)