Determine o fator integrante e resolva as seguintes equações diferenciais:
(b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que é . O nosso objetivo aqui é encontrar um fator integrante que ajude a resolver essa equação. Para isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais de primeira ordem e entender como aplicar fatores integrantes para torná-las mais fáceis de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da equação. Aqui, temos:
Queremos verificar se essa equação é exata. Uma equação diferencial é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a . Vamos calcular:
Como , a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.

Passo 3

Vamos procurar um fator integrante que seja função apenas de ou apenas de . Vamos checar se um fator que depende de funciona.
A fórmula para o fator integrante quando buscamos uma função de é:
Substituindo os valores que encontramos:
Aqui percebemos que depende de , o que não é o que queríamos. Então, vamos tentar um fator que depende apenas de .

Passo 4

Agora vamos tentar um fator integrante . A fórmula para isso é:
Substituindo os valores:
Percebo que novamente o fator depende de de uma forma complicada. Então, parece que precisamos revisar nossa abordagem.

Passo 5

Vamos simplificar. Como a equação não é exata, podemos reescrevê-la na forma padrão:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A gente pode resolver usando o método do fator integrante para equações lineares.
A equação tem a forma:
Comparando com a nossa, temos:

Passo 6

O fator integrante para equações lineares é dado por:
Vamos calcular:
Para simplificar, podemos considerar , então:

Passo 7

Multiplicamos toda a equação pela :
Simplificando:
Isso se torna:

Passo 8

Integrando ambos os lados:
O que resulta em:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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Determine a solução dos seguintes PVI:
©
Determine o fator integrante e resolva as seguintes equações diferenciais:
(h)
Resolva as seguintes equações:
(d)