Determine a solução dos seguintes PVI:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá um Problema de Valor Inicial (PVI) composto pela equação diferencial
e a condição inicial
. Vamos resolver isso usando separação de variáveis, que é uma técnica para resolver equações onde conseguimos isolar as variáveis
e
em lados opostos da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar
sozinho. Começamos com:
Subtraindo
de ambos os lados, temos:
Agora, dividimos ambos os lados por
para obter
:
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Isso significa que vamos colocar todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro:
Passo 4
Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados da equação. A integração nos ajudará a encontrar a relação entre
e
:
Passo 5
Vamos resolver as integrais:
- A integral de
é . - A integral de
é .
Então, temos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar o valor de
. Substituímos
e
na equação:
Passo 7
Com
, substituímos de volta na equação geral:
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Passo 8
Finalmente, isolamos
tirando a raiz quadrada de ambos os lados. Lembrando que, pela condição inicial,
é negativo:
Resposta
A solução do PVI é
.
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