Determine a solução dos seguintes PVI:
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Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá um Problema de Valor Inicial (PVI) composto pela equação diferencial e a condição inicial . Vamos resolver isso usando separação de variáveis, que é uma técnica para resolver equações onde conseguimos isolar as variáveis e em lados opostos da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar sozinho. Começamos com:
Subtraindo de ambos os lados, temos:
Agora, dividimos ambos os lados por para obter :

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis e . Isso significa que vamos colocar todos os termos com de um lado e os termos com do outro:

Passo 4

Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados da equação. A integração nos ajudará a encontrar a relação entre e :

Passo 5

Vamos resolver as integrais:
  • A integral de é .
  • A integral de é .
Então, temos:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor de . Substituímos e na equação:

Passo 7

Com , substituímos de volta na equação geral:
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:

Passo 8

Finalmente, isolamos tirando a raiz quadrada de ambos os lados. Lembrando que, pela condição inicial, é negativo:

Resposta

A solução do PVI é .

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