Determine o fator integrante e resolva as seguintes equações diferenciais:
(h) x dy - y dx = x^2 e^x dx

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . A matéria que vamos usar aqui é Equações Diferenciais Lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar um fator integrante que nos ajude a simplificar a equação e facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar tudo em termos de . Dividindo ambos os lados por , temos:
Agora, vamos isolar :
Essa é a forma padrão de uma equação linear: , onde e .

Passo 3

Para resolver, precisamos de um fator integrante, , que é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
A esquerda da equação agora é a derivada do produto :

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração. Agora, isolamos :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

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