Resolva as seguintes equações:
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a equação diferencial
. Esse tipo de equação pertence ao estudo das equações de Bernoulli dentro das equações diferenciais. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que transforma essa equação em uma mais simples, facilitando achar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação para deixar claro o que estamos lidando. Dividindo todos os termos por
(considerando que
), temos:
Aqui, identificamos que
e
, com o expoente
. Isso caracteriza uma equação de Bernoulli, que tem a forma geral:
Passo 3
Para resolver uma equação de Bernoulli, fazemos uma substituição que simplifica a equação. Vamos definir:
Agora, calculamos a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Vamos substituir
na equação original usando a expressão da derivada de
:
Substituindo na equação reorganizada:
Dividindo todos os termos por
(novamente, assumindo
):
Como
, a equação fica:
Multiplicando por
para simplificar:
Passo 5
Agora, temos uma equação linear de primeira ordem em
:
onde
e
. Para resolver, usamos um fator integrante
que é dado por:
Passo 6
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante
:
A equação fica:
Passo 7
Integrando ambos os lados em relação a
:
Multiplicando ambos os lados por
para isolar
:
Lembrando que
, então:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Determine o fator integrante e resolva as seguintes equações diferenciais:
(h)
(h)
Determine o fator integrante e resolva as seguintes equações diferenciais:
(b)
(b)
Resolver as seguintes equações separáveis:
(g)
(g)
Determine a solução dos seguintes PVI:
(b)
(b)