Resolver as seguintes equações lineares:
(d) d/y = y tg(x) + cos(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que você me mandou: . A gente vai trabalhar com equações diferenciais lineares do primeiro grau. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar um fator integrante e integrar ambos os lados da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais padrão. A equação que temos é:
Vamos colocar todos os termos envolvendo de um lado:
Aqui, a gente identifica que e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante ( ) que nos ajuda a simplificar a equação. O fator integrante é dado por:
Vamos calcular essa integral:
Então, o fator integrante fica:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Simplificando o termo :

Passo 5

Percebemos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto . Portanto:
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a :
Isso simplifica para:

Passo 6

A integral de podemos resolver usando uma identidade trigonométrica:
Então:
Substituindo de volta na equação:
Agora, isolamos :
Simplificando:
Podemos escrever de forma mais elegante usando as funções trigonométricas recíprocas:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

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