Resolver as seguintes equações lineares:
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que você me mandou:
. A gente vai trabalhar com equações diferenciais lineares do primeiro grau. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar um fator integrante e integrar ambos os lados da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais padrão. A equação que temos é:
Vamos colocar todos os termos envolvendo
de um lado:
Aqui, a gente identifica que
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante (
) que nos ajuda a simplificar a equação. O fator integrante é dado por:
Vamos calcular essa integral:
Então, o fator integrante fica:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Simplificando o termo
:
Passo 5
Percebemos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
. Portanto:
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
Isso simplifica para:
Passo 6
A integral de
podemos resolver usando uma identidade trigonométrica:
Então:
Substituindo de volta na equação:
Agora, isolamos
:
Simplificando:
Podemos escrever de forma mais elegante usando as funções trigonométricas recíprocas:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.