Determine o fator integrante e resolva as seguintes equações diferenciais:
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Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A gente precisa determinar o fator integrante e resolver a equação diferencial dada por:
Vamos usar um pouco de cálculo diferencial e conceitos de equações diferenciais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para identificar as funções e . Reescrevendo a equação:
Aqui, temos:

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante.

Passo 4

Vamos procurar um fator integrante que depende apenas de . A fórmula para o fator integrante quando:
Então, o fator integrante é:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :

Passo 6

Vamos verificar novamente se a equação ficou exata após a multiplicação:
Calculando as derivadas parciais:
Agora, , então a equação é exata.

Passo 7

Como a equação é exata, existe uma função tal que:
Integrando em relação a :
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Simplificando:
Então, a função potencial é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais. Indique a solução particular da equação não homogênea:
,
Determine quais das seguintes equações diferenciais são exatas e encontre a solução nos casos afirmativos:
(b)
Resolva as seguintes equações:
(f)
Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais. Indique a solução particular da equação não homogênea:
,