Determine o fator integrante e resolva as seguintes equações diferenciais:
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Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A gente precisa determinar o fator integrante e resolver a equação diferencial dada por:
Vamos usar um pouco de cálculo diferencial e conceitos de equações diferenciais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação para identificar as funções
e
. Reescrevendo a equação:
Aqui, temos:
Passo 3
Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante.
Passo 4
Vamos procurar um fator integrante que depende apenas de
. A fórmula para o fator integrante
quando:
Então, o fator integrante é:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Passo 6
Vamos verificar novamente se a equação ficou exata após a multiplicação:
Calculando as derivadas parciais:
Agora,
, então a equação é exata.
Passo 7
Como a equação é exata, existe uma função
tal que:
Integrando
em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Simplificando:
Então, a função potencial é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais. Indique a solução particular da equação não homogênea:
,
Determine quais das seguintes equações diferenciais são exatas e encontre a solução nos casos afirmativos:
(b)
(b)
Resolva as seguintes equações:
(f)
(f)
Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais. Indique a solução particular da equação não homogênea:
,