Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais. Indique a solução particular da equação não homogênea:
,

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial . Para isso, vamos utilizar conhecimentos de equações diferenciais lineares de segunda ordem com termos não homogêneos. Precisamos encontrar a solução geral dessa equação, que inclui a solução da equação homogênea associada e uma solução particular para a equação não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para encontrar a solução geral, precisamos resolver a equação característica.

Passo 3

A equação característica para é . Resolvendo para , temos:
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação homogênea é dada por:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea . Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados.

Passo 5

Observamos que o lado direito da equação é , que é um polinômio multiplicado por uma função exponencial. Portanto, assumimos que a solução particular tem a forma:
onde , e são constantes que precisamos determinar.

Passo 6

Vamos calcular as derivadas de :

Passo 7

Substituímos , e na equação original:
Simplificando:

Passo 8

Agora, igualamos os coeficientes de , e dos termos constantes:

Passo 9

Resolvendo o sistema de equações:
  1. De :
  1. Substituindo na segunda equação:
  1. Substituindo e na terceira equação:

Passo 10

Agora que temos os valores de , e , a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

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Determine quais das seguintes equações diferenciais são exatas e encontre a solução nos casos afirmativos:
(b)
Nos itens a seguir determine quais das equações são homogêneas e, em caso afirmativo, determine sua solução:
(e)
Determine o fator integrante e resolva as seguintes equações diferenciais:
©
Resolva as seguintes equações:
(f)