Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais. Indique a solução particular da equação não homogênea:
,
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
. Para isso, vamos utilizar conhecimentos de equações diferenciais lineares de segunda ordem com termos não homogêneos. Precisamos encontrar a solução geral dessa equação, que inclui a solução da equação homogênea associada e uma solução particular para a equação não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para encontrar a solução geral, precisamos resolver a equação característica.
Passo 3
A equação característica para
é
. Resolvendo para
, temos:
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação homogênea é dada por:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação não homogênea
. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados.
Passo 5
Observamos que o lado direito da equação é
, que é um polinômio multiplicado por uma função exponencial. Portanto, assumimos que a solução particular tem a forma:
onde
,
e
são constantes que precisamos determinar.
Passo 6
Vamos calcular as derivadas de
:
Passo 7
Substituímos
,
e
na equação original:
Simplificando:
Passo 8
Agora, igualamos os coeficientes de
,
e dos termos constantes:
Passo 9
Resolvendo o sistema de equações:
- De
:
- Substituindo
na segunda equação:
- Substituindo
e na terceira equação:
Passo 10
Agora que temos os valores de
,
e
, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Determine quais das seguintes equações diferenciais são exatas e encontre a solução nos casos afirmativos:
(b)
(b)
Nos itens a seguir determine quais das equações são homogêneas e, em caso afirmativo, determine sua solução:
(e)
(e)
Determine o fator integrante e resolva as seguintes equações diferenciais:
©
©
Resolva as seguintes equações:
(f)
(f)