Determine quais das seguintes equações diferenciais são exatas e encontre a solução nos casos afirmativos:
(b) (xy + x^2) dx - dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial aqui: . Nosso objetivo é descobrir se essa equação é exata e, se for, encontrar a solução dela. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais exatas, que envolvem verificar certas condições matemáticas e, se tudo der certo, resolver a equação encontrando uma função que satisfaça a relação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma equação diferencial exata. Uma equação diferencial da forma é chamada de exata se existir uma função tal que . Isso significa que as derivadas parciais de em relação a e devem satisfazer:
Para verificar se a nossa equação é exata, vamos calcular as derivadas parciais de e e ver se elas são iguais.

Passo 3

Identificando e na equação dada:
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Para a equação ser exata, precisamos que . Aqui, temos , então as derivadas parciais não são iguais. Isso significa que a equação não é exata.

Resposta

A equação diferencial não é exata.

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