Determine quais das seguintes equações diferenciais são exatas e encontre a solução nos casos afirmativos:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial aqui:
. Nosso objetivo é descobrir se essa equação é exata e, se for, encontrar a solução dela. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais exatas, que envolvem verificar certas condições matemáticas e, se tudo der certo, resolver a equação encontrando uma função que satisfaça a relação dada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma equação diferencial exata. Uma equação diferencial da forma
é chamada de exata se existir uma função
tal que
. Isso significa que as derivadas parciais de
em relação a
e
devem satisfazer:
Para verificar se a nossa equação é exata, vamos calcular as derivadas parciais de
e
e ver se elas são iguais.
Passo 3
Identificando
e
na equação dada:
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Para a equação ser exata, precisamos que
. Aqui, temos
, então as derivadas parciais não são iguais. Isso significa que a equação não é exata.
Resposta
A equação diferencial
não é exata.
Exercícios relacionados
Nos itens a seguir determine quais das equações são homogêneas e, em caso afirmativo, determine sua solução:
(e)
(e)
Determine a solução dos seguintes PVI:
(f)
(f)
Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais. Indique a solução particular da equação não homogênea:
,
Determine o fator integrante e resolva as seguintes equações diferenciais:
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