Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais. Indique a solução particular da equação não homogênea:
,
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
. Aqui, estamos lidando com equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, precisaremos encontrar a solução geral da equação homogênea correspondente e, em seguida, uma solução particular da equação não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, achamos a equação característica:
Resolvendo para
:
Passo 3
Com as raízes da equação característica sendo complexas, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação não homogênea
. Como o termo não homogêneo
já aparece na solução homogênea, precisamos multiplicar por
para encontrar a solução particular. Vamos supor:
Passo 5
Vamos calcular as derivadas necessárias de
:
Passo 6
Substituindo
e suas derivadas na equação original
:
Simplificando, os termos com
se anulam, restando:
Passo 7
Igualando os coeficientes das funções trigonométricas:
Passo 8
Substituindo
e
na nossa suposição para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.