Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais. Indique a solução particular da equação não homogênea:
,

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial . Aqui, estamos lidando com equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, precisaremos encontrar a solução geral da equação homogênea correspondente e, em seguida, uma solução particular da equação não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, achamos a equação característica:
Resolvendo para :

Passo 3

Com as raízes da equação característica sendo complexas, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea . Como o termo não homogêneo já aparece na solução homogênea, precisamos multiplicar por para encontrar a solução particular. Vamos supor:

Passo 5

Vamos calcular as derivadas necessárias de :

Passo 6

Substituindo e suas derivadas na equação original :
Simplificando, os termos com se anulam, restando:

Passo 7

Igualando os coeficientes das funções trigonométricas:

Passo 8

Substituindo e na nossa suposição para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

Resolva as seguintes equações:
(f)
Determine o fator integrante e resolva as seguintes equações diferenciais:
©
Determine a solução dos seguintes PVI:
(g)
Nos itens a seguir determine quais das equações são homogêneas e, em caso afirmativo, determine sua solução:
(g)