Resolva as seguintes equações:
(f)
(f)
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
. Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. Para resolver, precisamos reorganizar a equação de forma que possamos separar as variáveis
e
. Vamos usar separação de variáveis e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir ambos os lados da equação por
para isolar
:
Passo 3
Agora, factoramos
no numerador:
Passo 4
Vamos separar as variáveis
e
. Dividimos ambos os lados por
e multiplicamos por
:
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados. Começamos com o lado esquerdo:
Para resolver essa integral, usamos frações parciais. Podemos escrever:
Resolvendo, encontramos
e
. Então:
Passo 6
Agora, integramos o lado direito:
Fazemos a substituição
, então
, ou seja,
. A integral fica:
Passo 7
Igualamos as integrais dos dois lados:
Onde
é a constante de integração geral.
Passo 8
Para simplificar, podemos combinar os logaritmos:
Passo 9
Exponenciando ambos os lados para eliminar os logaritmos:
Onde
é uma nova constante.
Passo 10
Finalmente, resolvemos para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
onde
é uma constante arbitrária.
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Determine o fator integrante e resolva as seguintes equações diferenciais:
©
©
Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais. Indique a solução particular da equação não homogênea:
,
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,
Determine a solução dos seguintes PVI:
(g)
(g)