Resolva as seguintes equações:
(f) (1 - x^2) dy/dx = x y + x y^2

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial . Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. Para resolver, precisamos reorganizar a equação de forma que possamos separar as variáveis e . Vamos usar separação de variáveis e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir ambos os lados da equação por para isolar :

Passo 3

Agora, factoramos no numerador:

Passo 4

Vamos separar as variáveis e . Dividimos ambos os lados por e multiplicamos por :

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados. Começamos com o lado esquerdo:
Para resolver essa integral, usamos frações parciais. Podemos escrever:
Resolvendo, encontramos e . Então:

Passo 6

Agora, integramos o lado direito:
Fazemos a substituição , então , ou seja, . A integral fica:

Passo 7

Igualamos as integrais dos dois lados:
Onde é a constante de integração geral.

Passo 8

Para simplificar, podemos combinar os logaritmos:

Passo 9

Exponenciando ambos os lados para eliminar os logaritmos:
Onde é uma nova constante.

Passo 10

Finalmente, resolvemos para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
onde é uma constante arbitrária.

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