Resolver as seguintes equações separáveis:
(g) (1-x) dy - y^2 dx = 0

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial separável dada por:
Essa equação faz parte da matéria de equações diferenciais, especificamente das equações separáveis. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e de forma que cada uma fique de um lado da equação, permitindo assim integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar os termos com e :
Isso facilita a separação das variáveis.

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis e . Para isso, dividimos ambos os lados por e por :
Dessa forma, cada variável está de um lado da equação.

Passo 4

Em seguida, vamos integrar ambos os lados da equação. As integrais são:
Aqui, estamos aplicando o conceito de que, se conseguimos separar as variáveis, podemos integrar cada lado individualmente.

Passo 5

Calculando as integrais:
  • A integral de é .
  • A integral de é .
Então temos:
Onde é uma constante de integração.

Passo 6

Podemos simplificar multiplicando ambos os lados por -1:
Isso facilita a resolução para .

Passo 7

Finalmente, resolvemos para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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