Nos itens a seguir determine quais das equações são homogêneas e, em caso afirmativo, determine sua solução:
(g)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a equação é homogênea. Se for, a gente também precisa encontrar a solução dela. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais homogêneas e técnicas de resolução dessas equações, como a substituição .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma equação homogênea. Uma equação diferencial é dita homogênea se todos os termos podem ser escritos como funções homogêneas do mesmo grau. Em termos práticos, se substituirmos por , onde é uma função de , a equação deve ficar em termos de e sem termos livres.
Passo 3
Vamos verificar se nossa equação é homogênea. A equação dada é:
Vamos analisar cada termo:
é de grau 1 (já que onde e são de grau 1).
pode ser reescrito como , que é de grau .
é de grau 1.
Todos os termos possuem o mesmo grau, então a equação é homogênea.
Passo 4
Agora que sabemos que a equação é homogênea, vamos resolver usando a substituição . A ideia é expressar em termos de e , e assim simplificar a equação.
Primeiro, vamos expressar e :
Passo 5
Substituindo e na equação original:
Simplificando a raiz:
Então, a equação fica:
Passo 6
Distribuindo os termos:
Agora, combinando os termos com :
Passo 7
Podemos dividir toda a equação por para simplificar:
Rearranjando:
Passo 8
Vamos integrar os dois lados. A integral do lado esquerdo será . Para o lado direito, vamos simplificar a fração:
Agora, integrando:
onde é a constante de integração.
Passo 9
Substituindo de volta na equação:
Simplificando:
Cancelando dos dois lados:
Podemos expressar a solução de forma mais elegante multiplicando ambos os lados por :