Nos itens a seguir determine quais das equações são homogêneas e, em caso afirmativo, determine sua solução:
(g)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a equação é homogênea. Se for, a gente também precisa encontrar a solução dela. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais homogêneas e técnicas de resolução dessas equações, como a substituição .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma equação homogênea. Uma equação diferencial é dita homogênea se todos os termos podem ser escritos como funções homogêneas do mesmo grau. Em termos práticos, se substituirmos por , onde é uma função de , a equação deve ficar em termos de e sem termos livres.

Passo 3

Vamos verificar se nossa equação é homogênea. A equação dada é:
Vamos analisar cada termo:
  • é de grau 1 (já que onde e são de grau 1).
  • pode ser reescrito como , que é de grau .
  • é de grau 1.
Todos os termos possuem o mesmo grau, então a equação é homogênea.

Passo 4

Agora que sabemos que a equação é homogênea, vamos resolver usando a substituição . A ideia é expressar em termos de e , e assim simplificar a equação.
Primeiro, vamos expressar e :

Passo 5

Substituindo e na equação original:
Simplificando a raiz:
Então, a equação fica:

Passo 6

Distribuindo os termos:
Agora, combinando os termos com :

Passo 7

Podemos dividir toda a equação por para simplificar:
Rearranjando:

Passo 8

Vamos integrar os dois lados. A integral do lado esquerdo será . Para o lado direito, vamos simplificar a fração:
Agora, integrando:
onde é a constante de integração.

Passo 9

Substituindo de volta na equação:
Simplificando:
Cancelando dos dois lados:
Podemos expressar a solução de forma mais elegante multiplicando ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Determine a solução dos seguintes PVI:
(g)
Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais. Indique a solução particular da equação não homogênea:
,
Determine o fator integrante e resolva as seguintes equações diferenciais:
(a)