Determine um fator integrante e resolva.
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a equação diferencial
com
. O que precisamos fazer aqui é encontrar um fator integrante para a equação e, em seguida, resolver essa equação diferencial. O conteúdo que vamos usar é de equações diferenciais de primeira ordem e fatores integrantes.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la na forma padrão de uma equação diferencial linear. Vamos isolar os termos com
:
Dividindo ambos os lados por
:
Mas, para facilitar, é melhor organizar a equação de outra forma. Vamos reescrever a equação original:
Podemos reorganizar os termos para:
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos verificar se essa equação é exata. Uma equação diferencial da forma
é exata se:
Aqui, identificamos:
Calculando as derivadas parciais:
Claramente,
, então a equação não é exata. Por isso, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.
Passo 4
Vamos tentar encontrar um fator integrante que dependa apenas de
. Sabemos que, se houver um fator integrante
, então multiplicando toda a equação por
tornará a equação exata.
A fórmula para o fator integrante quando depende apenas de
é:
Calculando:
Então:
Portanto:
Como
, podemos simplificar para
.
Passo 5
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Agora, a equação multiplicada por
é exata. Isso significa que existe uma função
tal que:
Integrando em relação a
:
Agora, calculamos a derivada parcial de
em relação a
e igualamos a
(coeficiente de
):
Isso implica que
, então
é uma constante, que podemos chamar de
.
Portanto, a solução geral é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Utilize o GeoGebra para fazer o gráfico das curvas abaixo (as figuras obtidas neste exercício são chamadas de limaçons; as obtidas nos itens ©, (h), (m) e ® também são chamadas de cardioides).
® .
®
Resolva as seguintes EDO não homogêneas.
;
Verifique que se
é solução de
e
é solução de
, então
também é solução de
, para qualquer
.
Encontre solução geral para as EDO.
;