Determine um fator integrante e resolva. .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a equação diferencial com . O que precisamos fazer aqui é encontrar um fator integrante para a equação e, em seguida, resolver essa equação diferencial. O conteúdo que vamos usar é de equações diferenciais de primeira ordem e fatores integrantes.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la na forma padrão de uma equação diferencial linear. Vamos isolar os termos com :
Dividindo ambos os lados por :
Mas, para facilitar, é melhor organizar a equação de outra forma. Vamos reescrever a equação original:
Podemos reorganizar os termos para:
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos verificar se essa equação é exata. Uma equação diferencial da forma é exata se:
Aqui, identificamos:
Calculando as derivadas parciais:
Claramente, , então a equação não é exata. Por isso, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.

Passo 4

Vamos tentar encontrar um fator integrante que dependa apenas de . Sabemos que, se houver um fator integrante , então multiplicando toda a equação por tornará a equação exata.
A fórmula para o fator integrante quando depende apenas de é:
Calculando:
Então:
Portanto:
Como , podemos simplificar para .

Passo 5

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando:
Agora, a equação multiplicada por é exata. Isso significa que existe uma função tal que:
Integrando em relação a :
Agora, calculamos a derivada parcial de em relação a e igualamos a (coeficiente de ):
Isso implica que , então é uma constante, que podemos chamar de .
Portanto, a solução geral é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Utilize o GeoGebra para fazer o gráfico das curvas abaixo (as figuras obtidas neste exercício são chamadas de limaçons; as obtidas nos itens ©, (h), (m) e ® também são chamadas de cardioides).
® .
Resolva as seguintes EDO não homogêneas. ;
Verifique que se é solução de e é solução de , então também é solução de , para qualquer .
Encontre solução geral para as EDO. ;