Encontre solução geral para as EDO. ;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo:
Nossa missão é encontrar a solução geral dessa EDO. Para resolver isso, vamos usar o método das equações lineares de primeira ordem. Vamos precisar entender como identificar os componentes dessa equação e aplicar a fórmula do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem, que é:
Para isso, dividimos todos os termos por (já que ):
Aqui, identificamos:

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que vai nos ajudar a simplificar a equação. A fórmula para o fator integrante é:
Substituindo :

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação pela que encontramos:
Simplificando:
A ideia aqui é que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto .

Passo 5

Escrevemos o lado esquerdo como a derivada do produto:
Agora, para encontrar , vamos integrar ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos calcular a integral:
Então, substituindo de volta:

Passo 7

Agora, isolamos multiplicando ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da EDO é:

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Verifique que se é solução de e é solução de , então também é solução de , para qualquer .
Determine um fator integrante e resolva. .
Encontre solução geral para as EDO. .
Resolva as seguintes EDO não homogêneas. .