Encontre solução geral para as EDO.
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Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo:
Nossa missão é encontrar a solução geral dessa EDO. Para resolver isso, vamos usar o método das equações lineares de primeira ordem. Vamos precisar entender como identificar os componentes dessa equação e aplicar a fórmula do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem, que é:
Para isso, dividimos todos os termos por
(já que
):
Aqui, identificamos:
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que vai nos ajudar a simplificar a equação. A fórmula para o fator integrante
é:
Substituindo
:
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação pela
que encontramos:
Simplificando:
A ideia aqui é que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
.
Passo 5
Escrevemos o lado esquerdo como a derivada do produto:
Agora, para encontrar
, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Vamos calcular a integral:
Então, substituindo de volta:
Passo 7
Agora, isolamos
multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da EDO é:
Exercícios relacionados
Verifique que se
é solução de
e
é solução de
, então
também é solução de
, para qualquer
.
Determine um fator integrante e resolva.
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Encontre solução geral para as EDO.
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Resolva as seguintes EDO não homogêneas.
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