Verifique que se
é solução de
e
é solução de
, então
também é solução de
, para qualquer
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para gente verificar que se temos duas soluções,
da equação homogênea
e
da equação não homogênea
, então qualquer combinação linear
também é solução da equação não homogênea, onde
é um número real. A gente vai precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares e propriedades de soluções dessas equações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para verificar se uma função é solução de uma equação diferencial, a gente precisa substituir essa função na equação e ver se ela satisfaz a igualdade.
Passo 3
Vamos definir
. Agora, vamos calcular a derivada dessa função em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos substituir
e
na equação não homogênea
:
Passo 5
Vamos distribuir o
:
Passo 6
Agora, vamos agrupar os termos que contêm
:
Passo 7
Sabemos que
é solução da equação homogênea
, então:
E
é solução da equação não homogênea
, então:
Passo 8
Substituindo essas igualdades na expressão anterior:
Que é uma verdade.
Resposta
Então, mostramos que
satisfaz a equação
para qualquer
. Portanto,
é realmente uma solução da equação não homogênea.
Exercícios relacionados
Determine um fator integrante e resolva.
.
Utilize o GeoGebra para fazer o gráfico das curvas abaixo (as figuras obtidas neste exercício são chamadas de limaçons; as obtidas nos itens ©, (h), (m) e ® também são chamadas de cardioides).
® .
®
Encontre solução geral para as EDO.
;
Encontre solução geral para as EDO.
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