Verifique que se y1(x) é solução de y' + f(x) y = 0 e y2(x) é solução de y' + f(x) y = r(x), então y(x) = A * y1(x) + y2(x) também é solução de y' + f(x) y = r(x), para qualquer A in R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para gente verificar que se temos duas soluções, da equação homogênea e da equação não homogênea , então qualquer combinação linear também é solução da equação não homogênea, onde é um número real. A gente vai precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares e propriedades de soluções dessas equações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para verificar se uma função é solução de uma equação diferencial, a gente precisa substituir essa função na equação e ver se ela satisfaz a igualdade.

Passo 3

Vamos definir . Agora, vamos calcular a derivada dessa função em relação a :

Passo 4

Agora, vamos substituir e na equação não homogênea :

Passo 5

Vamos distribuir o :

Passo 6

Agora, vamos agrupar os termos que contêm :

Passo 7

Sabemos que é solução da equação homogênea , então:
E é solução da equação não homogênea , então:

Passo 8

Substituindo essas igualdades na expressão anterior:
Que é uma verdade.

Resposta

Então, mostramos que satisfaz a equação para qualquer . Portanto, é realmente uma solução da equação não homogênea.

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