Para quais valores de m a matriz A é inversível?
A=[rrrr 1 & -1 & m & 0 2 & -1 & 0 & m 0 & 2 & 0 & -2 -2 & -1 & -m & 1 ]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A pergunta é sobre descobrir para quais valores de a matriz é inversível. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente tratando de determinantes e matrizes inversas. Para resolver isso, a gente precisa entender quando uma matriz tem inversa, que é quando o determinante dela não é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar: uma matriz quadrada é inversível se e somente se o seu determinante for diferente de zero. Então, nosso objetivo é calcular o determinante da matriz e encontrar os valores de que fazem esse determinante não ser zero.

Passo 3

Vamos calcular o determinante da matriz . A matriz é uma matriz , então o cálculo direto pode ser meio trabalhoso, mas a gente pode simplificar usando a expansão por cofatores ou transformando a matriz em uma forma triangular.

Passo 4

Uma maneira eficiente é usar a regra de Sarrus ou a expansão de Laplace, mas para matrizes maiores, transformar a matriz em uma forma mais simples ajuda. Vamos usar operações elementares para deixar muitos zeros na matriz, facilitando o cálculo do determinante.

Passo 5

Vamos realizar operações de linha na matriz A = 1 & -1 & m & 0 2 & -1 & 0 & m 0 & 2 & 0 & -2 -2 & -1 & -m & 1 :
R2 = R2 - 2R1 Rightarrow 2 - 2(1) & -1 - 2(-1) & 0 - 2(m) & m - 2(0) 0 & 1 & -2m & m
Primeiro, vamos substituir a segunda linha pela segunda linha menos 2 vezes a primeira linha:
A = 1 & -1 & m & 0 0 & 1 & -2m & m 0 & 2 & 0 & -2 -2 & -1 & -m & 1
A matriz fica:

Passo 6

Agora, vamos substituir a quarta linha pela quarta linha mais 2 vezes a primeira linha:
R4 = R4 + 2R1 Rightarrow -2 + 2(1) & -1 + 2(-1) & -m + 2(m) & 1 + 2(0) 0 & -3 & m & 1
A matriz fica:
A = 1 & -1 & m & 0 0 & 1 & -2m & m 0 & 2 & 0 & -2 0 & -3 & m & 1

Passo 7

Agora, vamos eliminar os elementos abaixo e acima do pivô na segunda coluna. Primeiro, eliminar o R3 = R3 - 2R2 Rightarrow 0 & 2 - 2(1) & 0 - 2(-2m) & -2 - 2(m) 0 & 0 & 4m & -2 - 2m na terceira linha:
A = 1 & -1 & m & 0 0 & 1 & -2m & m 0 & 0 & 4m & -2 - 2m 0 & -3 & m & 1
A matriz fica:

Passo 8

Em seguida, vamos eliminar o R4 = R4 + 3R2 Rightarrow 0 & -3 + 3(1) & m + 3(-2m) & 1 + 3(m) 0 & 0 & -5m & 1 + 3m na quarta linha:
A = 1 & -1 & m & 0 0 & 1 & -2m & m 0 & 0 & 4m & -2 - 2m 0 & 0 & -5m & 1 + 3m
A matriz fica:

Passo 9

Agora, temos uma matriz triangular superior, onde o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Então:
det(A) = 1 times 1 times 4m times (1 + 3m) - [e<=mentos abaixo que já são zero] áã
Simplificando:
det(A) = 4m(1 + 3m) = 4m + 12m^2

Passo 10

Para a matriz 4m + 12m^2 neq 0 ser inversível, o determinante precisa ser diferente de zero:
4m(1 + 3m) neq 0
Fatorando:
1 + 3m neq 0 Rightarrow m neq -13
Então, e . Resolvendo a segunda equação:

Resposta

A matriz é inversível para todos os valores de tais que e .

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