Prove as identidades de Green.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar uma identidade de Green, que é um tipo de equação que relaciona integrais de superfície com integrais de volume. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como gradiente, divergente e o teorema de Green. Vamos passo a passo entender cada parte e chegar na prova dessa identidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada termo da equação representa. Temos duas integrais: uma dupla sobre a fronteira e uma tripla sobre o volume . O lado esquerdo envolve multiplicado pelo produto interno do gradiente de com o vetor normal , integrado sobre a superfície. O lado direito envolve vezes o Laplaciano de mais o produto interno dos gradientes de e , integrado sobre o volume.

Passo 3

Vamos começar aplicando o teorema da divergência no lado esquerdo da equação. O teorema da divergência nos permite transformar uma integral de superfície em uma integral de volume. Nesse caso, vamos considerar o campo vetorial .

Passo 4

Aplicando o teorema da divergência:
Substituindo por , temos:

Passo 5

Agora, vamos expandir a divergência do produto usando a regra do produto para divergência:
Sabemos que , onde é o Laplaciano. Então:

Passo 6

Substituindo de volta na integral tripla, ficamos com:
Portanto, temos:

Resposta

Pronto! Com isso, provamos que:

Exercícios relacionados

Seja o sólido tridimensional delimitado pelas superfícies , e . Seja o bordo de . Use o Teorema de Gauss para encontrar o fluxo de através de
Calcule, caso existo, os sequintes limites das curvas
a)
Determine o fluxo do campo vetorial através da esfera de raio centrada na origem.
Prove as identidades de Green.