Prove as identidades de Green.
integral duplapartial W flang<=nabla g, nrang<= d S=integral triplaW(f De

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar uma identidade de Green, que é um tipo de equação que relaciona integrais de superfície com integrais de volume. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como gradiente, divergente e o teorema de Green. Vamos passo a passo entender cada parte e chegar na prova dessa identidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada termo da equação representa. Temos duas integrais: uma dupla sobre a fronteira e uma tripla sobre o volume . O lado esquerdo envolve multiplicado pelo produto interno do gradiente de com o vetor normal , integrado sobre a superfície. O lado direito envolve vezes o Laplaciano de mais o produto interno dos gradientes de e , integrado sobre o volume.

Passo 3

Vamos começar aplicando o teorema da divergência no lado esquerdo da equação. O teorema da divergência nos permite transformar uma integral de superfície em uma integral de volume. Nesse caso, vamos considerar o campo vetorial .

Passo 4

Aplicando o teorema da divergência:
integral duplapartial W F cdot n , dS = integral triplaW nabla cdot F , dV
Substituindo integral duplapartial W f lang<= nabla g, n rang<= dS = integral triplaW nabla cdot (f nabla g) dV por , temos:

Passo 5

Agora, vamos expandir a divergência do produto nabla cdot (f nabla g) = f nabla cdot nabla g + nabla f cdot nabla g usando a regra do produto para divergência:
nabla cdot (f nabla g) = f De
Sabemos que , onde é o Laplaciano. Então:

Passo 6

Substituindo de volta na integral tripla, ficamos com:
integral triplaW nabla cdot (f nabla g) dV = integral triplaW (f De
Portanto, temos:
integral duplapartial W f lang<= nabla g, n rang<= dS = integral triplaW (f De

Resposta

Pronto! Com isso, provamos que:
integral duplapartial W f lang<= nabla g, n rang<= dS = integral triplaW (f De

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