Beleza, vamos lá! A questão pede para provar uma identidade de Green, que é um tipo de equação que relaciona integrais de superfície com integrais de volume. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como gradiente, divergente e o teorema de Green. Vamos passo a passo entender cada parte e chegar na prova dessa identidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada termo da equação representa. Temos duas integrais: uma dupla sobre a fronteira e uma tripla sobre o volume . O lado esquerdo envolve multiplicado pelo produto interno do gradiente de com o vetor normal , integrado sobre a superfície. O lado direito envolve vezes o Laplaciano de mais o produto interno dos gradientes de e , integrado sobre o volume.
Passo 3
Vamos começar aplicando o teorema da divergência no lado esquerdo da equação. O teorema da divergência nos permite transformar uma integral de superfície em uma integral de volume. Nesse caso, vamos considerar o campo vetorial .
Passo 4
Aplicando o teorema da divergência:
Substituindo por , temos:
Passo 5
Agora, vamos expandir a divergência do produto usando a regra do produto para divergência:
Sabemos que , onde é o Laplaciano. Então:
Passo 6
Substituindo de volta na integral tripla, ficamos com: