Seja o sólido tridimensional delimitado pelas superfícies , e . Seja o bordo de . Use o Teorema de Gauss para encontrar o fluxo de através de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que encontrar o fluxo do campo vetorial através da superfície , que é a fronteira do sólido definido pelas superfícies , , e . Para isso, vamos usar o Teorema de Gauss (também conhecido como Teorema da Divergência). Precisamos entender o que é esse teorema e como aplicá-lo para resolver nosso problema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Gauss. Esse teorema relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a divergência desse campo dentro do volume que delimita. Em fórmulas, temos:
Ou seja, ao invés de calcular o fluxo diretamente pela superfície, podemos calcular a divergência de e integrar isso sobre todo o volume . Isso geralmente facilita as coisas, principalmente quando a superfície é complicada.
Passo 3
Vamos calcular a divergência de . A divergência de um campo vetorial é dada por:
Aplicando isso ao nosso :
, então
, então
, então
Portanto,
Passo 4
Agora, precisamos configurar a integral tripla sobre o volume . Vamos entender melhor os limites de integração:
A superfície e nos dá que varia de até .
A superfície é o plano xy, e nos diz que varia de até .
Então, a ordem de integração será de a , para cada , varia de a , e para cada , varia de a .