Seja W o sólido tridimensional delimitado pelas superfícies x = y^2, x = 9, z = 0, e x = z. Seja S o bordo de W. Use o Teorema de Gauss para encontrar o fluxo de F(x, y, z) = (3x - 5y)i + (4z - 2y)j + (8yz)k através de S

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que encontrar o fluxo do campo vetorial através da superfície S, que é a fronteira do sólido W definido pelas superfícies , , e . Para isso, vamos usar o Teorema de Gauss (também conhecido como Teorema da Divergência). Precisamos entender o que é esse teorema e como aplicá-lo para resolver nosso problema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Gauss. Esse teorema relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada S com a divergência desse campo dentro do volume W que S delimita. Em fórmulas, temos:
Ou seja, ao invés de calcular o fluxo diretamente pela superfície, podemos calcular a divergência de F e integrar isso sobre todo o volume W. Isso geralmente facilita as coisas, principalmente quando a superfície é complicada.

Passo 3

Vamos calcular a divergência de F. A divergência de um campo vetorial é dada por:
Aplicando isso ao nosso F:
  • , então
  • , então
  • , então
Portanto,

Passo 4

Agora, precisamos configurar a integral tripla sobre o volume W. Vamos entender melhor os limites de integração:
  • A superfície e nos dá que y varia de até .
  • A superfície é o plano xy, e nos diz que z varia de 0 até x.
Então, a ordem de integração será y de a , para cada y, x varia de y^2 a , e para cada x, z varia de 0 a x.
A integral fica assim:

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo:
  1. Integrando em relação a z:
  1. Integrando em relação a x:
  1. Integrando em relação a y:
Vamos integrar termo a termo:
Somando tudo:

Resposta

O fluxo de F através de S é 194,4.

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