Seja o sólido tridimensional delimitado pelas superfícies , e . Seja o bordo de . Use o Teorema de Gauss para encontrar o fluxo de através de

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que encontrar o fluxo do campo vetorial através da superfície , que é a fronteira do sólido definido pelas superfícies , , e . Para isso, vamos usar o Teorema de Gauss (também conhecido como Teorema da Divergência). Precisamos entender o que é esse teorema e como aplicá-lo para resolver nosso problema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Gauss. Esse teorema relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a divergência desse campo dentro do volume que delimita. Em fórmulas, temos:
Ou seja, ao invés de calcular o fluxo diretamente pela superfície, podemos calcular a divergência de e integrar isso sobre todo o volume . Isso geralmente facilita as coisas, principalmente quando a superfície é complicada.

Passo 3

Vamos calcular a divergência de . A divergência de um campo vetorial é dada por:
Aplicando isso ao nosso :
  • , então
  • , então
  • , então
Portanto,

Passo 4

Agora, precisamos configurar a integral tripla sobre o volume . Vamos entender melhor os limites de integração:
  • A superfície e nos dá que varia de até .
  • A superfície é o plano xy, e nos diz que varia de até .
Então, a ordem de integração será de a , para cada , varia de a , e para cada , varia de a .
A integral fica assim:

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo:
  1. Integrando em relação a :
  1. Integrando em relação a :
  1. Integrando em relação a :
Vamos integrar termo a termo:
Somando tudo:

Resposta

O fluxo de através de é 194,4.

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