Esboce o gráfico de f(x, y) = 4 - x^2 - 2y^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para esboçar o gráfico da função . Aqui, estamos lidando com funções de duas variáveis, que são parte da matéria de Cálculo Multivariável. Para esboçar o gráfico, vamos precisar entender como essa função se comporta no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a forma geral da função. A função é uma função quadrática em duas variáveis. Isso significa que seu gráfico será uma superfície chamada paraboloide.

Passo 3

Vamos identificar os coeficientes para entender melhor a forma do paraboloide. Na nossa função:
  • O coeficiente de é -1.
  • O coeficiente de é -2.
  • O termo constante é 4.
Como os coeficientes de e são negativos, isso indica que o paraboloide está abrindo para baixo.

Passo 4

Para esboçar o gráfico, podemos traçar as curvas de nível da função, que são as linhas onde é constante. Por exemplo, se fixarmos , teremos:
Essa equação representa elipses no plano xy, cujo tamanho depende do valor de .

Passo 5

Vamos determinar o ponto mais alto do paraboloide, que ocorre quando e :
Portanto, o vértice do paraboloide está no ponto (0, 0, 4).

Passo 6

Agora, para esboçar o gráfico, imagine uma superfície em forma de cúpula invertida (paraboloide aberto para baixo) com o vértice no ponto (0, 0, 4). As curvas de nível elípticas circundam o vértice e se tornam menores à medida que nos afastamos do centro.

Resposta

O gráfico de é um paraboloide elíptico aberto para baixo, com vértice no ponto (0, 0, 4).

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