Esboce o gráfico de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para esboçar o gráfico da função
. Aqui, estamos lidando com funções de duas variáveis, que são parte da matéria de Cálculo Multivariável. Para esboçar o gráfico, vamos precisar entender como essa função se comporta no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a forma geral da função. A função
é uma função quadrática em duas variáveis. Isso significa que seu gráfico será uma superfície chamada paraboloide.
Passo 3
Vamos identificar os coeficientes para entender melhor a forma do paraboloide. Na nossa função:
- O coeficiente de
é -1. - O coeficiente de
é -2. - O termo constante é 4.
Como os coeficientes de
e
são negativos, isso indica que o paraboloide está abrindo para baixo.
Passo 4
Para esboçar o gráfico, podemos traçar as curvas de nível da função, que são as linhas onde
é constante. Por exemplo, se fixarmos
, teremos:
Essa equação representa elipses no plano xy, cujo tamanho depende do valor de
.
Passo 5
Vamos determinar o ponto mais alto do paraboloide, que ocorre quando
e
:
Portanto, o vértice do paraboloide está no ponto (0, 0, 4).
Passo 6
Agora, para esboçar o gráfico, imagine uma superfície em forma de cúpula invertida (paraboloide aberto para baixo) com o vértice no ponto (0, 0, 4). As curvas de nível elípticas circundam o vértice e se tornam menores à medida que nos afastamos do centro.
Resposta
O gráfico de
é um paraboloide elíptico aberto para baixo, com vértice no ponto (0, 0, 4).