Use substituição trigonométrica e calcule as integrais:
(f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a integral usando substituição trigonométrica. A função que vamos integrar é:
Primeiro, vamos identificar o que precisamos saber para resolver essa integral. Vamos precisar entender:
Substituição trigonométrica: Uma técnica para integrar expressões que envolvem raízes quadradas de polinômios do segundo grau.
Propriedades dos logaritmos: Para simplificar a expressão após a integração.
Vamos lá, passo a passo!
Passo 2
Antes de aplicar a substituição trigonométrica, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo. Observe que temos:
Vamos completar o quadrado para facilitar a substituição:
Então, a expressão fica:
Isso nos ajuda a identificar a forma para a substituição trigonométrica.
Passo 3
Agora, vamos fazer a substituição trigonométrica. Para expressões da forma , usamos:
No nosso caso, e (porque ). Então, substituímos:
Agora, vamos encontrar em termos de :
Passo 4
Substituindo e na expressão original dentro do logaritmo:
Agora, a expressão dentro do logaritmo se torna:
Passo 5
Simplificando a expressão:
Agora, a integral original fica:
Mas isso parece complicado! Vamos repensar. Talvez seja melhor reescrever a integral original antes da substituição trigonométrica.
Passo 6
Vamos reconsiderar a integral. Se a função a integrar é:
E já completamos o quadrado para obter:
Com a substituição , o denominador se simplifica para . Então, a integral se torna:
Passo 7
A integral de é conhecida e é:
Agora, precisamos voltar para a variável original . Lembrando que:
Passo 8
Substituindo e de volta na expressão:
Como a constante já engloba todo múltiplo constante, podemos simplificar ignorando o denominador: