Determine o fluxo de
sobre
onde
, onde
, com
. Além disso o vetor
unitário normal a
tem a segunda coordenada sempre positiva.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo vetorial onde precisamos determinar o fluxo do campo vetorial
sobre a superfície
. A superfície
é definida pela equação
com
, ou seja, é um paraboloide que se abre para baixo. O fluxo é calculado usando a integral de superfície, e para isso, vamos precisar entender conceitos como produto escalar, vetor normal e integração em superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que o fluxo de
através de
é dado por:
Onde
é o vetor unitário normal à superfície
. Para encontrar
, precisamos determinar a normal à superfície
.
Passo 3
A superfície
é dada por
. Podemos reescrever isso como
. O vetor normal não unitário à superfície é o gradiente de
:
Passo 4
Para obter o vetor normal unitário
, normalizamos o gradiente:
Como a segunda coordenada de
deve ser positiva, mantemos o sinal positivo no denominador.
Passo 5
Agora, substituímos
e
na expressão do fluxo:
Passo 6
Simplificamos o produto escalar:
Passo 7
Para facilitar a integração, podemos mudar para coordenadas polares ou considerar simetrias da função. No entanto, devido à complexidade das funções presentes em
, a integral pode não ter uma solução analítica simples e pode ser necessário utilizar métodos numéricos para calcular o fluxo.
Resposta
O fluxo de
sobre a superfície
é dado pela integral dupla:
Para obter um valor numérico, é recomendado utilizar métodos de integração numérica devido à complexidade das funções envolvidas.