Determine o fluxo de F sobre S onde F(x, y, z) = [arctan(-y + 2) + cos(z^4 + 1)] i + [x^2 + 3y] j + -z + ln(sen^2(x) + 1) + e^(y^7 + 9) k, onde S: y = 4 - x^2 - z^2, com y ≥ 0. Além disso o vetor n unitário normal a S tem a segunda coordenada sempre positiva.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo vetorial onde precisamos determinar o fluxo do campo vetorial sobre a superfície . A superfície é definida pela equação com , ou seja, é um paraboloide que se abre para baixo. O fluxo é calculado usando a integral de superfície, e para isso, vamos precisar entender conceitos como produto escalar, vetor normal e integração em superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que o fluxo de através de é dado por:
Onde é o vetor unitário normal à superfície . Para encontrar , precisamos determinar a normal à superfície .

Passo 3

A superfície é dada por . Podemos reescrever isso como . O vetor normal não unitário à superfície é o gradiente de :

Passo 4

Para obter o vetor normal unitário , normalizamos o gradiente:
Como a segunda coordenada de deve ser positiva, mantemos o sinal positivo no denominador.

Passo 5

Agora, substituímos e na expressão do fluxo:

Passo 6

Simplificamos o produto escalar:

Passo 7

Para facilitar a integração, podemos mudar para coordenadas polares ou considerar simetrias da função. No entanto, devido à complexidade das funções presentes em , a integral pode não ter uma solução analítica simples e pode ser necessário utilizar métodos numéricos para calcular o fluxo.

Resposta

O fluxo de sobre a superfície é dado pela integral dupla:
Para obter um valor numérico, é recomendado utilizar métodos de integração numérica devido à complexidade das funções envolvidas.

Exercícios relacionados