Estude a convergência, convergência absoluta ou divergência das séries (0.75) sumn=1^infty 2^n3+4^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente estudar se a série converge, converge absolutamente ou diverge. Aqui, vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência, como o teste da razão ou comparação com séries que a gente já conhece.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento geral da expressão . Notamos que, à medida que cresce, cresce muito mais rápido que , então o denominador domina o numerador.

Passo 3

Vamos simplificar a fração para entender melhor:
2^n3 + 4^n approx 2^n4^n = (24)^n = (12)^n
Isso mostra que, para grandes , a expressão se comporta como , que é uma série geométrica.

Passo 4

Sabemos que uma série geométrica converge se . No nosso caso, , que satisfaz essa condição. Portanto, a série comparada converge.

Passo 5

Como a série original se comporta de forma semelhante à série geométrica que converge, podemos aplicar o teste da comparação. Já que para todo , pela comparação com uma série convergente, a nossa série também converge.

Resposta

A série converge absolutamente.

Exercícios relacionados