Estude a convergência, convergência absoluta ou divergência das séries
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente estudar se a série
converge, converge absolutamente ou diverge. Aqui, vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência, como o teste da razão ou comparação com séries que a gente já conhece.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento geral da expressão
. Notamos que, à medida que
cresce,
cresce muito mais rápido que
, então o denominador domina o numerador.
Passo 3
Vamos simplificar a fração para entender melhor:
Isso mostra que, para grandes
, a expressão se comporta como
, que é uma série geométrica.
Passo 4
Sabemos que uma série geométrica
converge se
. No nosso caso,
, que satisfaz essa condição. Portanto, a série comparada
converge.
Passo 5
Como a série original
se comporta de forma semelhante à série geométrica que converge, podemos aplicar o teste da comparação. Já que
para todo
, pela comparação com uma série convergente, a nossa série também converge.
Resposta
A série
converge absolutamente.