Determine
, se
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar a função
sabendo que
e que cada função seguinte é a composição da função anterior com
, ou seja,
. Isso está relacionado ao conceito de composição de funções e sequências de funções. Para resolver, vamos precisar entender como compor funções e identificar um padrão que nos permita expressar
de forma geral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a composição de funções. Se temos duas funções
e
, a composição
é definida por:
Ou seja, você primeiro aplica
em
e depois aplica
no resultado.
Passo 3
No nosso caso, sabemos que
. Vamos começar calculando
usando a relação dada:
Aplicando a definição de composição:
Passo 4
Vamos ver agora
:
Substituindo
que encontramos:
Passo 5
Observando os resultados:
Parece que a cada passo estamos adicionando mais 3. Vamos supor que:
Vamos testar essa hipótese para
:
- Para
: ✔️ - Para
: ✔️ - Para
: ✔️
Passo 6
Para confirmar que essa expressão geral funciona para qualquer
, podemos usar indução matemática:
- Base da indução: Para
, já vimos que está de acordo com a fórmula. - Passo de indução: Suponha que
. Então,
O que confirma que a fórmula é válida para
.
Resposta
Portanto, a expressão geral para
é:
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Verifique que
e determine
se:
Ache o domínio das seguintes funções:
Esboce o gráfico das seguintes funções:
Ache o domínio das seguintes funções: