Determine , se e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar a função sabendo que e que cada função seguinte é a composição da função anterior com , ou seja, . Isso está relacionado ao conceito de composição de funções e sequências de funções. Para resolver, vamos precisar entender como compor funções e identificar um padrão que nos permita expressar de forma geral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a composição de funções. Se temos duas funções e , a composição é definida por:
Ou seja, você primeiro aplica em e depois aplica no resultado.

Passo 3

No nosso caso, sabemos que . Vamos começar calculando usando a relação dada:
Aplicando a definição de composição:

Passo 4

Vamos ver agora :
Substituindo que encontramos:

Passo 5

Observando os resultados:
Parece que a cada passo estamos adicionando mais 3. Vamos supor que:
Vamos testar essa hipótese para :
  • Para : ✔️
  • Para : ✔️
  • Para : ✔️

Passo 6

Para confirmar que essa expressão geral funciona para qualquer , podemos usar indução matemática:
  • Base da indução: Para , já vimos que está de acordo com a fórmula.
  • Passo de indução: Suponha que . Então,
O que confirma que a fórmula é válida para .

Resposta

Portanto, a expressão geral para é:

Exercícios relacionados

Verifique que e determine se:
Ache o domínio das seguintes funções:
Esboce o gráfico das seguintes funções:
Ache o domínio das seguintes funções: