Verifique que Im(f) ⊆ Dom(g) e determine g(f) se: f(x) = x^2 + 3, g(x) = (x + 1) / (x - 2)

Passo 1

Beleza, vamos começar! O exercício pede para a gente verificar se a imagem da função está dentro do domínio da função . Além disso, precisamos encontrar a função composta . As funções são definidas por e . Basicamente, vamos precisar entender o que a imagem e o domínio de cada função representam e como compor essas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o domínio da função . O domínio de uma função são todos os valores de para os quais a função está definida. Olhando para , vemos que estamos tendo uma divisão. A divisão por zero não é permitida, então precisamos garantir que o denominador nunca seja zero.

Passo 3

Para encontrar onde está definida, resolvemos a equação do denominador igual a zero:
Então, o domínio de é todos os números reais exceto . Em notação matemática:

Passo 4

Agora, vamos determinar a imagem da função , ou seja, todos os possíveis valores que pode assumir. A função é uma parábola que abre para cima, com o vértice no ponto . Como é sempre positivo ou zero, o menor valor que pode assumir é 3.

Passo 5

Portanto, a imagem de é:
Precisamos verificar se todos esses valores estão dentro do domínio de . Sabemos que . Como começa em 3 e vai até o infinito, nenhum valor de será igual a 2. Assim, a imagem de está totalmente contida no domínio de :

Passo 6

Agora, vamos encontrar a função composta , que significa substituir na função :
Substituindo na expressão de :

Resposta

A função composta é:

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