Esboce o gráfico das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para esboçar o gráfico da função . Aqui, estamos trabalhando com funções hiperbólicas, especificamente a secante hiperbólica ( ). Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a função e como a multiplicação por 3 dentro da função afeta o gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função secante hiperbólica. A é definida como o inverso da função cosseno hiperbólico ( ):
A função tem a forma de uma curva em “U” bem simétrica, com seu ponto mínimo em e aumentando à medida que se afasta de 0 em ambas as direções. Como a é o inverso, ela terá um pico máximo em e decairá em direção a zero à medida que vai para .

Passo 3

Agora, vamos analisar o efeito do fator 3 dentro da função, ou seja, . Esse tipo de multiplicação afeta a “largura” do gráfico da função. Quando multiplicamos o argumento da função por um número maior que 1, como 3, isso comprime o gráfico horizontalmente. Basicamente, a função alcançará seus valores significativos mais rapidamente conforme nos distanciamos de .

Passo 4

Vamos resumir as características principais da função :
  • Domínio: Todos os números reais ( ).
  • Intervalo: .
  • Ponto de máximo: quando .
  • Simetria: A função é simétrica em relação ao eixo y, ou seja, é uma função par.
  • Comportamento assintótico: À medida que tende para , se aproxima de 0.

Passo 5

Para esboçar o gráfico:
  1. Ponto central: Comece marcando o ponto (0,1), que é o ponto de máximo.
  2. Simetria: Como a função é simétrica, qualquer ponto à direita de 0 terá um correspondente à esquerda.
  3. Comportamento: Desenhe a curva decaindo rapidamente em ambas as direções à medida que se afasta de 0, aproximando-se dos eixos mas nunca tocando o eixo x.
  4. Compressão horizontal: Devido ao fator 3, a curva desce mais rapidamente do que a padrão.

Resposta

O gráfico da função é uma curva simétrica em relação ao eixo y, com pico máximo em e decaindo rapidamente para zero à medida que aumenta ou diminui, devido à compressão horizontal causada pelo fator 3. A função se aproxima dos eixos mas nunca os toca, formando uma espécie de “colina” estreita no centro.

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Determine , se e .
Verifique que e determine se:
Ache o domínio das seguintes funções:
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