Esboce o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para esboçar o gráfico da função
. Aqui, estamos trabalhando com funções hiperbólicas, especificamente a secante hiperbólica (
). Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a função
e como a multiplicação por 3 dentro da função afeta o gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função secante hiperbólica. A
é definida como o inverso da função cosseno hiperbólico (
):
A função
tem a forma de uma curva em “U” bem simétrica, com seu ponto mínimo em
e aumentando à medida que
se afasta de 0 em ambas as direções. Como a
é o inverso, ela terá um pico máximo em
e decairá em direção a zero à medida que
vai para
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o efeito do fator 3 dentro da função, ou seja,
. Esse tipo de multiplicação afeta a “largura” do gráfico da função. Quando multiplicamos o argumento da função por um número maior que 1, como 3, isso comprime o gráfico horizontalmente. Basicamente, a função alcançará seus valores significativos mais rapidamente conforme nos distanciamos de
.
Passo 4
Vamos resumir as características principais da função
:
- Domínio: Todos os números reais (
). - Intervalo:
. - Ponto de máximo:
quando . - Simetria: A função é simétrica em relação ao eixo y, ou seja, é uma função par.
- Comportamento assintótico: À medida que
tende para , se aproxima de 0.
Passo 5
Para esboçar o gráfico:
- Ponto central: Comece marcando o ponto (0,1), que é o ponto de máximo.
- Simetria: Como a função é simétrica, qualquer ponto à direita de 0 terá um correspondente à esquerda.
- Comportamento: Desenhe a curva decaindo rapidamente em ambas as direções à medida que
se afasta de 0, aproximando-se dos eixos mas nunca tocando o eixo x. - Compressão horizontal: Devido ao fator 3, a curva desce mais rapidamente do que a
padrão.
Resposta
O gráfico da função
é uma curva simétrica em relação ao eixo y, com pico máximo em
e decaindo rapidamente para zero à medida que
aumenta ou diminui, devido à compressão horizontal causada pelo fator 3. A função se aproxima dos eixos mas nunca os toca, formando uma espécie de “colina” estreita no centro.
Exercícios relacionados
Determine
, se
e
.
Verifique que
e determine
se:
Ache o domínio das seguintes funções:
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