Quais dos seguintes conjuntos
abaixo são subespaço de
? Justifique.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A pergunta é sobre identificar se o conjunto
é um subespaço de
. Vamos precisar entender o que define um subespaço vetorial e aplicar esses conceitos para verificar se
atende aos critérios.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço de
. Um conjunto
é considerado um subespaço se ele satisfaz três condições básicas:
- Contém o vetor zero: O vetor
deve pertencer a . - Fechado sob adição: Se você pegar dois vetores quaisquer em
e somá-los, o resultado também deve estar em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar qualquer vetor de
por um número real (escalar), o vetor resultante também deve estar em .
Passo 3
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto
:
-
Contém o vetor zero: O vetor zero em
é . Vamos ver se ele pertence a : Mas em, deve ser igual a 1. Como , o vetor zero não está em . -
Fechado sob adição: Mesmo que não precisemos verificar as próximas condições, já que a primeira falhou, vamos supor que tivéssemos dois vetores em
, como e . A soma deles seria . Aqui, o primeiro componente é 2, que não satisfaz , então a soma não estaria em . -
Fechado sob multiplicação por escalar: Se multiplicarmos um vetor
por um escalar , obtemos . A menos que , o primeiro componente não será 1, então geralmente o vetor resultante não estará em .
Resposta
Como o conjunto
não contém o vetor zero e não é fechado sob adição e multiplicação por escalar,
não é um subespaço de
.
Exercícios relacionados
Dê a equação da parábola de vértice na origem e e reta diretriz
.
Determine o foco, o vértice, a equação da diretriz e esboce as parábolas cujas equações são:
.
Esboce o gráfico das seguintes equações:
.
Seja
o espaço vetorial de todas as matrizes quadradas de ordem
. Qual dos seguintes conjuntos de matrizes em
são subespaços vetoriais de
? Justifique sua resposta.
(a) Todas as matrizes inversíveis.
(a) Todas as matrizes