Quais dos seguintes conjuntos abaixo são subespaço de ? Justifique.
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Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A pergunta é sobre identificar se o conjunto é um subespaço de . Vamos precisar entender o que define um subespaço vetorial e aplicar esses conceitos para verificar se atende aos critérios.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço de . Um conjunto é considerado um subespaço se ele satisfaz três condições básicas:
  1. Contém o vetor zero: O vetor deve pertencer a .
  2. Fechado sob adição: Se você pegar dois vetores quaisquer em e somá-los, o resultado também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar qualquer vetor de por um número real (escalar), o vetor resultante também deve estar em .

Passo 3

Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto :
  1. Contém o vetor zero: O vetor zero em é . Vamos ver se ele pertence a :
    áé
    Mas em , deve ser igual a 1. Como , o vetor zero não está em .
  2. Fechado sob adição: Mesmo que não precisemos verificar as próximas condições, já que a primeira falhou, vamos supor que tivéssemos dois vetores em , como e . A soma deles seria . Aqui, o primeiro componente é 2, que não satisfaz , então a soma não estaria em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se multiplicarmos um vetor por um escalar , obtemos . A menos que , o primeiro componente não será 1, então geralmente o vetor resultante não estará em .

Resposta

Como o conjunto não contém o vetor zero e não é fechado sob adição e multiplicação por escalar, não é um subespaço de .

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Determine o foco, o vértice, a equação da diretriz e esboce as parábolas cujas equações são: .
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Seja o espaço vetorial de todas as matrizes quadradas de ordem . Qual dos seguintes conjuntos de matrizes em são subespaços vetoriais de ? Justifique sua resposta.
(a) Todas as matrizes inversíveis.