Dê a equação da parábola de vértice na origem e e reta diretriz .

Passo 1

Beleza, galera! A gente tem que encontrar a equação de uma parábola que tem o vértice na origem (0,0) e a reta diretriz é . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre parábolas. Vamos precisar entender que uma parábola é o conjunto de pontos que estão à mesma distância de um ponto fixo chamado foco e de uma reta fixa chamada diretriz.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a distância do vértice à diretriz. A fórmula para a distância de um ponto a uma reta é:
Aqui, nossa diretriz é e o vértice é . Substituindo na fórmula:
Isso significa que o foco da parábola está a uma distância de do vértice, na direção perpendicular à diretriz.

Passo 3

Agora, vamos encontrar as coordenadas do foco. A direção perpendicular à diretriz tem um vetor normal . Vamos normalizar esse vetor para obter:
á
Multiplicando pela distância , temos a posição do foco:

Passo 4

Agora que temos o foco , vamos usar a definição de parábola: todo ponto na parábola está à mesma distância do foco e da diretriz. Vamos escrever isso matematicamente.

Passo 5

Vamos simplificar essa equação para encontrar a expressão da parábola. Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Expandindo ambos os lados:
Multiplicando tudo por 5 para eliminar os denominadores:
Simplificando:
Reorganizando os termos:

Resposta

A equação da parábola é:

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Determine o foco, o vértice, a equação da diretriz e esboce as parábolas cujas equações são: .
Quais dos seguintes conjuntos abaixo são subespaço de ? Justifique.
©
Esboce o gráfico das seguintes equações: .