Dê a equação da parábola de vértice na origem e e reta diretriz 2 x+y=1.

Passo 1

Beleza, galera! A gente tem que encontrar a equação de uma parábola que tem o vértice na origem (0,0) e a reta diretriz é . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre parábolas. Vamos precisar entender que uma parábola é o conjunto de pontos que estão à mesma distância de um ponto fixo chamado foco e de uma reta fixa chamada diretriz.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a distância do vértice à diretriz. A fórmula para a distância de um ponto d = |Ax0 + By0 + C|raizA^2 + B^2 a uma reta d = |2(0) + 1(0) - 1|raiz2^2 + 1^2 = 1raiz5 é:
Aqui, nossa diretriz é e o vértice é . Substituindo na fórmula:
Isso significa que o foco da parábola está a uma distância de do vértice, na direção perpendicular à diretriz.

Passo 3

Agora, vamos encontrar as coordenadas do foco. A direção perpendicular à diretriz Vetor unitário = (2raiz5, 1raiz5) tem um vetor normal Foco = (0, 0) + 1raiz5 cdot (2raiz5, 1raiz5) = (25, 15) . Vamos normalizar esse vetor para obter:
á
Multiplicando pela distância , temos a posição do foco:

Passo 4

Agora que temos o foco raiz(x - 25)^2 + (y - 15)^2 = |2x + y - 1|raiz5 , vamos usar a definição de parábola: todo ponto na parábola está à mesma distância do foco e da diretriz. Vamos escrever isso matematicamente.

Passo 5

Vamos simplificar essa equação para encontrar a expressão da parábola. Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
(x - 25)^2 + (y - 15)^2 = (2x + y - 1raiz5)^2
Expandindo ambos os lados:
x^2 - 45x + 425 + y^2 - 25y + 125 = 4x^2 + 4xy + y^2 - 4x - 2y + 15
Multiplicando tudo por 5 para eliminar os denominadores:
5x^2 - 4x + 2025 + 5y^2 - 2y + 525 = 4x^2 + 4xy + y^2 - 4x - 2y + 1
Simplificando:
5x^2 - 4x + 45 + 5y^2 - 2y + 15 = 4x^2 + 4xy + y^2 - 4x - 2y + 1
Reorganizando os termos:
x^2 + 4y^2 = 4xy + 1

Resposta

A equação da parábola é:
x^2 + 4y^2 = 4xy + 1

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