Dê a equação da parábola de vértice na origem e e reta diretriz
.
Passo 1
Beleza, galera! A gente tem que encontrar a equação de uma parábola que tem o vértice na origem (0,0) e a reta diretriz é
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre parábolas. Vamos precisar entender que uma parábola é o conjunto de pontos que estão à mesma distância de um ponto fixo chamado foco e de uma reta fixa chamada diretriz.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a distância do vértice à diretriz. A fórmula para a distância de um ponto
a uma reta
é:
Aqui, nossa diretriz é
e o vértice é
. Substituindo na fórmula:
Isso significa que o foco da parábola está a uma distância de
do vértice, na direção perpendicular à diretriz.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as coordenadas do foco. A direção perpendicular à diretriz
tem um vetor normal
. Vamos normalizar esse vetor para obter:
Multiplicando pela distância
, temos a posição do foco:
Passo 4
Agora que temos o foco
, vamos usar a definição de parábola: todo ponto
na parábola está à mesma distância do foco e da diretriz. Vamos escrever isso matematicamente.
Passo 5
Vamos simplificar essa equação para encontrar a expressão da parábola. Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Expandindo ambos os lados:
Multiplicando tudo por 5 para eliminar os denominadores:
Simplificando:
Reorganizando os termos:
Resposta
A equação da parábola é:
Exercícios relacionados
Determine o foco, o vértice, a equação da diretriz e esboce as parábolas cujas equações são:
.
Quais dos seguintes conjuntos
abaixo são subespaço de
? Justifique.
©
©
Esboce o gráfico das seguintes equações:
.