Seja
a) Determine o dominio da função , e esboce o gráfico.
b) Encontre a curva de nível da função que contém o ponto .
c) Calcule o comprimento da reta tangente a curva no ponto compreendida entre os eixos coordenados.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos a função . O que precisamos fazer aqui é:
a) Encontrar o domínio dessa função e desenhar o gráfico.
b) Encontrar a curva de nível que passa pelo ponto .
c) Calcular o comprimento da reta tangente à curva no ponto que está entre os eixos coordenados.
Vamos precisar de conhecimentos de álgebra para resolver inequações, entender funções de duas variáveis, curvas de nível, derivadas para encontrar a reta tangente e um pouco de geometria para calcular o comprimento da reta.
Passo 2
Parte a) Determinar o domínio da função e esboçar o gráfico.
Primeiro, o domínio da função é o conjunto de todos os pares para os quais a expressão dentro da raiz quadrada é não negativa, porque a raiz quadrada de um número negativo não é um número real.
Então, temos:
Multiplicando ambos os lados por 3 (que é positivo, então a desigualdade não muda):
Vamos rearranjar:
Dividindo tudo por 2 para simplificar:
Essa inequação representa uma elipse centrada na origem. O domínio da função é, portanto, todos os pontos que satisfazem .
Esboço do gráfico:
A elipse tem os semi-eixos quando e :
Para : → →
Para : →
Então, os pontos extremos são , , , e . A elipse está mais esticada verticalmente devido ao coeficiente menor em .
Passo 3
Parte b) Encontrar a curva de nível que contém o ponto .
A curva de nível para a função é definida por , onde é uma constante.
Vamos encontrar o valor de que corresponde ao ponto :
Primeiro, calculamos os termos dentro da raiz:
Substituindo de volta:
Portanto, a curva de nível é:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Rearranjando:
Dividindo por 2:
Essa é a equação da curva de nível que contém o ponto .
Passo 4
Parte c) Calcular o comprimento da reta tangente à curva 3x^2 + y^2 = 9 no ponto partialpartial x(3x^2 + y^2) = 6x compreendida entre os eixos coordenados.
Primeiro, precisamos encontrar a reta tangente à curva partialpartial y(3x^2 + y^2) = 2y no ponto fx = 6 times raiz62 = 3raiz6 .
A equação da curva fy = 2 times 3raiz22 = 3raiz2 é:
fx(x - x0) + fy(y - y0) = 0
Para encontrar a reta tangente, calculamos as derivadas parciais:
3raiz6(x - raiz62) + 3raiz2(y - 3raiz22) = 0
raiz6(x - raiz62) + raiz2(y - 3raiz22) = 0
No ponto raiz6x - 62 + raiz2y - 62 = 0 implies raiz6x + raiz2y = 6 , os valores das derivadas são: