Seja f(x, y)=raiz24-6 x^2-2 y^23
a) Determine o dominio da função f, e esboce o gráfico.
b) Encontre a curva de nível C da função f que contém o ponto P=(raiz62, 3 raiz22).
c) Calcule o comprimento da reta tangente a curva C no ponto P compreendida entre os eixos coordenados.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos a função . O que precisamos fazer aqui é:
a) Encontrar o domínio dessa função e desenhar o gráfico.
b) Encontrar a curva de nível que passa pelo ponto .
c) Calcular o comprimento da reta tangente à curva no ponto que está entre os eixos coordenados.
Vamos precisar de conhecimentos de álgebra para resolver inequações, entender funções de duas variáveis, curvas de nível, derivadas para encontrar a reta tangente e um pouco de geometria para calcular o comprimento da reta.

Passo 2

Parte a) Determinar o domínio da função 24 - 6x^2 - 2y^23 >= 0 e esboçar o gráfico.
Primeiro, o domínio da função é o conjunto de todos os pares 24 - 6x^2 - 2y^2 >= 0 para os quais a expressão dentro da raiz quadrada é não negativa, porque a raiz quadrada de um número negativo não é um número real.
Então, temos:
6x^2 + 2y^2 <= 24
Multiplicando ambos os lados por 3 (que é positivo, então a desigualdade não muda):
3x^2 + y^2 <= 12
Vamos rearranjar:
Dividindo tudo por 2 para simplificar:
Essa inequação representa uma elipse centrada na origem. O domínio da função é, portanto, todos os pontos que satisfazem .
Esboço do gráfico:
A elipse tem os semi-eixos quando e :
  • Para :
  • Para :
Então, os pontos extremos são , , , e . A elipse está mais esticada verticalmente devido ao coeficiente menor em .

Passo 3

Parte b) Encontrar a curva de nível c = f(raiz62, 3raiz22) = raiz24 - 6(raiz62)^2 - 2(3raiz22)^23 que contém o ponto (raiz62)^2 = 64 = 32 .
A curva de nível (3raiz22)^2 = 9 times 24 = 184 = 92 para a função c = raiz24 - 6 times 32 - 2 times 923 = raiz24 - 9 - 93 = raiz63 = raiz2 é definida por f(x, y) = raiz2 implies raiz24 - 6x^2 - 2y^23 = raiz2 , onde 24 - 6x^2 - 2y^23 = 2 implies 24 - 6x^2 - 2y^2 = 6 é uma constante.
Vamos encontrar o valor de 6x^2 + 2y^2 = 18 que corresponde ao ponto 3x^2 + y^2 = 9 :
Primeiro, calculamos os termos dentro da raiz:
Substituindo de volta:
Portanto, a curva de nível é:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Rearranjando:
Dividindo por 2:
Essa é a equação da curva de nível que contém o ponto .

Passo 4

Parte c) Calcular o comprimento da reta tangente à curva 3x^2 + y^2 = 9 no ponto partialpartial x(3x^2 + y^2) = 6x compreendida entre os eixos coordenados.
Primeiro, precisamos encontrar a reta tangente à curva partialpartial y(3x^2 + y^2) = 2y no ponto fx = 6 times raiz62 = 3raiz6 .
A equação da curva fy = 2 times 3raiz22 = 3raiz2 é:
fx(x - x0) + fy(y - y0) = 0
Para encontrar a reta tangente, calculamos as derivadas parciais:
3raiz6(x - raiz62) + 3raiz2(y - 3raiz22) = 0
raiz6(x - raiz62) + raiz2(y - 3raiz22) = 0
No ponto raiz6x - 62 + raiz2y - 62 = 0 implies raiz6x + raiz2y = 6 , os valores das derivadas são:
raiz6x = 6 implies x = 6raiz6 = raiz6
raiz2y = 6 implies y = 6raiz2 = 3raiz2
A equação da reta tangente é dada por:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2
Substituindo os valores:
d = raiz(0 - raiz6)^2 + (3raiz2 - 0)^2 = raiz6 + 18 = raiz24 = 2raiz6
Dividindo toda a equação por 3 para simplificar:
Distribuindo:
Agora, queremos encontrar onde essa reta tangente intercepta os eixos coordenados.
Interseção com o eixo (quando ):
Então, o ponto de interseção com o eixo é .
Interseção com o eixo (quando ):
Então, o ponto de interseção com o eixo é .
Agora, temos dois pontos: e . O comprimento da reta entre e é a distância entre esses dois pontos.
A fórmula da distância entre dois pontos e é:
Aplicando para e :

Resposta

O comprimento da reta tangente à curva no ponto compreendida entre os eixos coordenados é .

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