Determine os focos, vértices e as diretrizes das parábolas a seguir. Faça um esboço.
.
Passo 1
Beleza, então temos a equação da parábola
. Vamos resolver esse problema usando os conceitos de parábolas, que é parte da matéria de Geometria Analítica. Precisamos identificar os focos, vértices e as diretrizes dessa parábola. Para isso, vamos comparar a equação dada com a forma padrão da parábola e encontrar os valores necessários.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação
na forma padrão da parábola. A forma padrão para uma parábola que abre para cima ou para baixo é:
Onde:
-
é a distância do vértice ao foco e à diretriz.
Vamos isolar
na nossa equação:
Comparando com a forma padrão, temos:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o valor de
. Para isso, resolvemos a equação:
Multiplicando ambos os lados por
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 4
Com o valor de
encontrado, podemos determinar o foco e a diretriz da parábola. A parábola
tem seu vértice na origem
.
- Foco: Está localizado a uma distância
acima do vértice. Então, as coordenadas do foco são .
- Diretriz: É uma reta horizontal localizada a uma distância
abaixo do vértice. A equação da diretriz é:
Passo 5
Agora, concluímos que o vértice da parábola está na origem
, o foco está em
e a diretriz é a reta
.
Para esboçar a parábola, lembrar que ela abre para cima, já que o coeficiente de
é positivo.
Resposta
- Vértice:
- Foco:
- Diretriz:
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;
Resolva as equações:
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