Determine os focos, vértices e as diretrizes das parábolas a seguir. Faça um esboço. 7 x^2=15 y.

Passo 1

Beleza, então temos a equação da parábola . Vamos resolver esse problema usando os conceitos de parábolas, que é parte da matéria de Geometria Analítica. Precisamos identificar os focos, vértices e as diretrizes dessa parábola. Para isso, vamos comparar a equação dada com a forma padrão da parábola e encontrar os valores necessários.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação y = 14px^2 na forma padrão da parábola. A forma padrão para uma parábola que abre para cima ou para baixo é:
y = 715x^2
Onde:
  • 14p = 715 é a distância do vértice ao foco e à diretriz.
Vamos isolar na nossa equação:
Comparando com a forma padrão, temos:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o valor de 14p = 715 . Para isso, resolvemos a equação:
1 = 28p15
Multiplicando ambos os lados por 15 = 28p :
p = 1528
Multiplicando ambos os lados por :
Dividindo ambos os lados por :

Passo 4

Com o valor de Foco = (0, 1528) encontrado, podemos determinar o foco e a diretriz da parábola. A parábola y = -p = -1528 tem seu vértice na origem .
  • Foco: Está localizado a uma distância acima do vértice. Então, as coordenadas do foco são .
  • Diretriz: É uma reta horizontal localizada a uma distância abaixo do vértice. A equação da diretriz é:

Passo 5

Agora, concluímos que o vértice da parábola está na origem , o foco está em e a diretriz é a reta .
Para esboçar a parábola, lembrar que ela abre para cima, já que o coeficiente de é positivo.

Resposta

  • Vértice:
  • Foco:
  • Diretriz:

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