Mostre que as assíntotas de uma hipérbole centrada na origem e focos nos eixos coordenados não interseptam a hipérbole.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que as assíntotas de uma hipérbole centrada na origem, com focos nos eixos coordenados, não interceptam a hipérbole. Vamos precisar entender o que é uma hipérbole, suas assíntotas e como verificar se elas se intersectam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a equação de uma hipérbole centrada na origem com focos nos eixos coordenados. Existem duas formas principais:
Hipérbole horizontal:
Aqui, os focos estão no eixo x, ou seja, em , onde .
Hipérbole vertical:
Nesta, os focos estão no eixo y, em , com .
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que são assíntotas. As assíntotas de uma hipérbole são retas que passam pelo centro da hipérbole e se aproximam dela, mas nunca a tocam. Para as hipérboles que estamos considerando, as assíntotas são dadas por:
Para a hipérbole horizontal:
Para a hipérbole vertical:
Essas retas representam a direção em que a hipérbole se estende para o infinito.
Passo 4
Para mostrar que as assíntotas não interceptam a hipérbole, precisamos verificar se existe algum ponto que satisfaça tanto a equação da hipérbole quanto a da assíntota. Ou seja, precisamos resolver o sistema formado pela equação da hipérbole e da sua assíntota e ver se há soluções reais.
Vamos fazer isso para a hipérbole horizontal, mas o processo é similar para a vertical.
Passo 5
Tomemos a hipérbole horizontal:
E sua assíntota:
Substituímos da assíntota na equação da hipérbole:
Passo 6
Vamos simplificar a equação:
Passo 7
Chegamos a uma contradição: . Isso significa que não há valor real de que satisfaça ambas as equações simultaneamente.
Resposta
Portanto, as assíntotas da hipérbole centrada na origem com focos nos eixos coordenados não interceptam a hipérbole.