Mostre que as assíntotas de uma hipérbole centrada na origem e focos nos eixos coordenados não interseptam a hipérbole.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que as assíntotas de uma hipérbole centrada na origem, com focos nos eixos coordenados, não interceptam a hipérbole. Vamos precisar entender o que é uma hipérbole, suas assíntotas e como verificar se elas se intersectam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a equação de uma hipérbole centrada na origem com focos nos eixos coordenados. Existem duas formas principais:
  1. Hipérbole horizontal:
    x^2a^2 - y^2b^2 = 1
    Aqui, os focos estão no eixo x, ou seja, em y^2a^2 - x^2b^2 = 1 , onde .
  2. Hipérbole vertical:
    Nesta, os focos estão no eixo y, em , com .

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que são assíntotas. As assíntotas de uma hipérbole são retas que passam pelo centro da hipérbole e se aproximam dela, mas nunca a tocam. Para as hipérboles que estamos considerando, as assíntotas são dadas por:
  1. Para a hipérbole horizontal:
    y = pm bax
  2. Para a hipérbole vertical:
    y = pm abx
Essas retas representam a direção em que a hipérbole se estende para o infinito.

Passo 4

Para mostrar que as assíntotas não interceptam a hipérbole, precisamos verificar se existe algum ponto que satisfaça tanto a equação da hipérbole quanto a da assíntota. Ou seja, precisamos resolver o sistema formado pela equação da hipérbole e da sua assíntota e ver se há soluções reais.
Vamos fazer isso para a hipérbole horizontal, mas o processo é similar para a vertical.

Passo 5

Tomemos a hipérbole horizontal:
x^2a^2 - y^2b^2 = 1
E sua assíntota:
y = bax
Substituímos x^2a^2 - (bax)^2b^2 = 1 da assíntota na equação da hipérbole:

Passo 6

Vamos simplificar a equação:
x^2a^2 - b^2a^2x^2b^2 = 1 Rightarrow x^2a^2 - x^2a^2 = 1
0 = 1

Passo 7

Chegamos a uma contradição: . Isso significa que não há valor real de que satisfaça ambas as equações simultaneamente.

Resposta

Portanto, as assíntotas da hipérbole centrada na origem com focos nos eixos coordenados não interceptam a hipérbole.

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