e
são matrizes quadradas de ordem 3 e
K.A. Sabe-se que det
e o determinante da transposta da matriz B é 96 . Determine o valor de K.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos duas matrizes quadradas,
e
, de ordem 3 (ou seja,
). Sabemos que
, onde
é uma constante que queremos encontrar. Também nos foi dado que o determinante de
é
e que o determinante da transposta de
é
. Nosso objetivo é descobrir o valor de
.
Para resolver isso, vamos precisar usar duas propriedades importantes dos determinantes:
- Determinante de uma matriz transposta: O determinante da transposta de uma matriz é igual ao determinante da matriz original.
- Determinante de uma matriz multiplicada por um escalar: Se uma matriz
é multiplicada por um escalar , o determinante da nova matriz é igual a vezes o determinante de , onde é a ordem da matriz.
Passo 2
Vamos começar aplicando a primeira propriedade mencionada. Sabemos que:
Como foi dado que
, então:
Passo 3
Agora, aplicamos a segunda propriedade sobre o determinante de um produto escalar. Sabemos que
, então:
Onde
é a ordem da matriz. Aqui,
porque as matrizes são de ordem 3.
Substituindo os valores que conhecemos:
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação para encontrar
. Primeiro, isolamos
:
Calculando o lado direito:
Passo 5
Para encontrar
, tiramos a raiz cúbica de ambos os lados:
Sabemos que:
Resposta
O valor de
é 4.
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;
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.
Resolva as equações: