Determine os focos, vértices e as diretrizes das parábolas a seguir. Faça um esboço.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar os focos, vértices e as diretrizes da parábola dada pela equação
. Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a parte das parábolas. Para isso, vamos precisar reescrever a equação na forma padrão da parábola e então identificar suas características principais.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação para facilitar a comparação com a forma padrão da parábola. A equação que temos é:
Vamos isolar o
:
Passo 3
A forma padrão de uma parábola que abre para cima ou para baixo é:
Onde:
-
é o vértice da parábola. -
é a distância do vértice ao foco.
Comparando com a nossa equação, percebemos que e , já que não há termos de translação.
Passo 4
Agora, vamos identificar o valor de
. Na nossa equação:
Resolvendo para
:
O valor negativo de
indica que a parábola está voltada para baixo.
Passo 5
Com o valor de
encontrado, podemos determinar o foco da parábola. A coordenada do foco é dada por:
Substituindo
,
e
:
Passo 6
A diretriz é uma reta que fica a uma distância
do vértice, na direção oposta ao foco. A equação da diretriz é:
Substituindo
e
:
Resposta
- Vértice:
- Foco:
- Diretriz:
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e
e tem reta focal o eixo
.
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.