Determine os focos, vértices e as diretrizes das parábolas a seguir. Faça um esboço. x^2+40 y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar os focos, vértices e as diretrizes da parábola dada pela equação . Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a parte das parábolas. Para isso, vamos precisar reescrever a equação na forma padrão da parábola e então identificar suas características principais.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para facilitar a comparação com a forma padrão da parábola. A equação que temos é:
x^2 + 40 y = 0
Vamos isolar o x^2 = -40 y :

Passo 3

A forma padrão de uma parábola que abre para cima ou para baixo é:
x^2 = 4 p y
Onde:
  • é o vértice da parábola.
  • é a distância do vértice ao foco.
    Comparando com a nossa equação , percebemos que e , já que não há termos de translação.

Passo 4

Agora, vamos identificar o valor de 4 p = -40 . Na nossa equação:
p = -404
Resolvendo para p = -10 :
O valor negativo de indica que a parábola está voltada para baixo.

Passo 5

Com o valor de (h, k + p) encontrado, podemos determinar o foco da parábola. A coordenada do foco é dada por:
(0, 0 + (-10))
Substituindo (0, -10) , e :

Passo 6

A diretriz é uma reta que fica a uma distância y = k - p do vértice, na direção oposta ao foco. A equação da diretriz é:
y = 0 - (-10)
Substituindo y = 10 e :

Resposta

  • Vértice:
  • Foco:
  • Diretriz:

Exercícios relacionados

Plote o gráfico das seguintes funções:
f(x, y)=-5 x-9 y+45
Escreva a equação da elipse com centro na origem e tal que passa por A=(5,2) e B=(2,4) e tem reta focal o eixo O x.
Obtenha as derivadas parciais das seguintes funções:
f(x, y)=x y^3 raizx^2+7 y^5
Determine o módulo do número complexo (1+3i)^4.