Escreva a equação da elipse com centro na origem e tal que passa por
e
e tem reta focal o eixo
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa achar a equação de uma elipse que tem o centro na origem, passa pelos pontos
e
, e tem o eixo maior alinhado com o eixo
. Para isso, vamos usar a fórmula da elipse padrão e resolver passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula geral da elipse com centro na origem e eixo maior no eixo
:
Aqui,
é o semi-eixo maior e
é o semi-eixo menor da elipse. Nosso objetivo é encontrar os valores de
e
.
Passo 3
Sabemos que os pontos
e
estão na elipse. Vamos substituir as coordenadas desses pontos na equação da elipse para criar um sistema de equações.
Para o ponto
:
Para o ponto
:
Passo 4
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas (
e
):
Vamos resolver esse sistema para encontrar
e
.
Passo 5
Podemos resolver esse sistema multiplicando a equação (1) por 4 e a equação (2) por 25, para facilitar a eliminação:
Multiplicando (1) por 4:
Multiplicando (2) por 25:
Passo 6
Agora, subtraímos a equação (3) da equação (4):
Simplificando:
Passo 7
Resolvendo para
:
Para simplificar, podemos deixar a fração exata:
Passo 8
Agora que temos
, vamos substituir esse valor na equação (1) para encontrar
:
Simplificando:
Passo 9
Isolando
:
Então:
Resposta
A equação da elipse é:
Ou, simplificando a fração do denominador:
Exercícios relacionados
Plote o gráfico das seguintes funções:
Plote o gráfico das seguintes funções:
Plote o gráfico das seguintes funções:
Determine os focos, vértices e as diretrizes das parábolas a seguir. Faça um esboço.