Escreva a equação da elipse com centro na origem e tal que passa por A=(5,2) e B=(2,4) e tem reta focal o eixo O x.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa achar a equação de uma elipse que tem o centro na origem, passa pelos pontos e , e tem o eixo maior alinhado com o eixo . Para isso, vamos usar a fórmula da elipse padrão e resolver passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula geral da elipse com centro na origem e eixo maior no eixo x^2a^2 + y^2b^2 = 1 :
Aqui, é o semi-eixo maior e é o semi-eixo menor da elipse. Nosso objetivo é encontrar os valores de e .

Passo 3

Sabemos que os pontos 5^2a^2 + 2^2b^2 = 1 Rightarrow 25a^2 + 4b^2 = 1 (1) e 2^2a^2 + 4^2b^2 = 1 Rightarrow 4a^2 + 16b^2 = 1 (2) estão na elipse. Vamos substituir as coordenadas desses pontos na equação da elipse para criar um sistema de equações.
Para o ponto :
Para o ponto :

Passo 4

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas ( 25a^2 + 4b^2 = 1 (1) 4a^2 + 16b^2 = 1 (2) e ):
Vamos resolver esse sistema para encontrar e .

Passo 5

Podemos resolver esse sistema multiplicando a equação (1) por 4 e a equação (2) por 25, para facilitar a eliminação:
Multiplicando (1) por 4:
100a^2 + 16b^2 = 4 (3)
Multiplicando (2) por 25:
100a^2 + 400b^2 = 25 (4)

Passo 6

Agora, subtraímos a equação (3) da equação (4):
( 100a^2 + 400b^2 ) - ( 100a^2 + 16b^2 ) = 25 - 4
Simplificando:
384b^2 = 21

Passo 7

Resolvendo para b^2 = 38421 approx 18.2857 :
b^2 = 38421 = 1287
Para simplificar, podemos deixar a fração exata:

Passo 8

Agora que temos 25a^2 + 41287 = 1 , vamos substituir esse valor na equação (1) para encontrar 25a^2 + 4 times 7128 = 1 Rightarrow 25a^2 + 28128 = 1 :
25a^2 + 732 = 1
Simplificando:

Passo 9

Isolando 25a^2 = 1 - 732 = 2532 :
25a^2 = 2532 Rightarrow a^2 = 32
Então:

Resposta

A equação da elipse é:
x^232 + y^21287 = 1
Ou, simplificando a fração do denominador:
x^232 + 7y^2128 = 1

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