Encontre os valores de a para os quais o sistema linear
b) possui infinitas soluções e ache todas elas;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema linear com três equações e três incógnitas: , e . Nosso objetivo aqui é encontrar os valores de que fazem com que esse sistema tenha infinitas soluções. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como determinantes e sistemas consistentes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de forma matricial. Isso ajuda a visualizar melhor as equações:
[ a & 1 & 1 -1 & a & 1 1 & 1 & a x y z = a a 0
]
Passo 3
Para que o sistema tenha infinitas soluções, o determinante da matriz dos coeficientes precisa ser zero. Vamos calcular esse determinante:
det = a cdot a & 1 1 & a - 1 cdot -1 & 1 1 & a + 1 cdot -1 & a 1 & 1
Passo 4
Calculando cada menor:
a & 1 1 & a = a^2 - 1
-1 & 1 1 & a = (-1)(a) - (1)(1) = -a -1
-1 & a 1 & 1 = (-1)(1) - (a)(1) = -1 -a
Passo 5
Substituindo de volta no determinante:
det = a(a^2 -1) -1(-a -1) +1(-1 -a) = a^3 - a + a +1 -1 -a = a^3 - a
Passo 6
Igualamos o determinante a zero para encontrar os valores de a^3 - a = 0 a(a^2 -1) = 0 a(a-1)(a+1) = 0 :
Assim, , ou .
Passo 7
Agora, precisamos verificar para quais desses valores de x + y + z = 1 - x + y + z = 1 x + y + z = 0 o sistema é consistente e possui infinitas soluções. Vamos analisar cada caso separadamente.
Caso 1: x = -1, y + z = 1
Substituindo - x + y + z = -1 - x - y + z = -1 x + y - z = 0 nas equações:
(-x + y + z) - (-x - y + z) = -1 - (-1) 2y = 0 Rightarrow y = 0
Observamos que as duas primeiras equações resultam em - x + 0 + x = -1 Rightarrow 0 = -1 e 0 cdot x + y + z = 0 - x + 0 cdot y + z = 0 x + y + 0 cdot z = 0 . Somando-as, obtemos y + z = 0 - x + z = 0 x + y = 0 , ou seja, - x + x = 0 Rightarrow 0 = 0 . A terceira equação é z = x, y = -x , que, junto com , leva a . Então, as soluções são:
Isso significa que e podem assumir qualquer valor que satisfaça , gerando infinitas soluções.
Caso 2:
Substituindo nas equações:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Com , a terceira equação fica . Substituindo na primeira equação:
Isso é uma contradição, então não há soluções para .
Caso 3:
Substituindo nas equações:
Simplificando:
Da segunda equação: .
Da terceira equação: .
Substituindo na primeira equação:
Isso é sempre verdadeiro, então as soluções são:
Qualquer valor de gera uma solução, resultando em infinitas soluções.
Resposta
Os valores de x = -1, y = t, z = 1 - t onde t in R que tornam o sistema compatível indeterminado (com infinitas soluções) são x = t, y = -t, z = t onde t in R e . As soluções são: