Resolva, usando o método de Gauss-Jordan, o seguinte sistema: 2 x1+2 x2+2 x3 & =0 -2 x1+5 x2+2 x3 & =1 8 x1+x2+4 x3 & =-1;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss-Jordan. Esse método faz parte da matéria de Álgebra Linear e serve para encontrar as soluções de sistemas lineares transformando a equação em uma matriz aumentada e simplificando ela passo a passo até encontrar os valores das variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de matriz aumentada. Cada equação do sistema corresponde a uma linha da matriz, e os coeficientes das incógnitas formam as colunas, junto com os termos constantes:
2 & 2 & 2 & | & 0 -2 & 5 & 2 & | & 1 8 & 1 & 4 & | & -1

Passo 3

Nossa meta é transformar essa matriz em uma forma onde cada linha tenha um 1 na diagonal principal e zeros abaixo e acima dele. Vamos começar tornando o primeiro elemento da primeira linha igual a 1. Para isso, dividimos a primeira linha por 2:
1 & 1 & 1 & | & 0 -2 & 5 & 2 & | & 1 8 & 1 & 4 & | & -1

Passo 4

Agora, queremos eliminar os elementos abaixo do 1 na primeira coluna. Para a segunda linha, adicionamos 2 vezes a primeira linha:
1 & 1 & 1 & | & 0 0 & 7 & 4 & | & 1 8 & 1 & 4 & | & -1
Para a terceira linha, subtraímos 8 vezes a primeira linha:
1 & 1 & 1 & | & 0 0 & 7 & 4 & | & 1 0 & -7 & -4 & | & -1

Passo 5

Vamos agora simplificar a segunda linha para que o segundo elemento seja 1. Dividimos a segunda linha por 7:
1 & 1 & 1 & | & 0 0 & 1 & 47 & | & 17 0 & -7 & -4 & | & -1

Passo 6

Eliminamos o elemento abaixo de 1 na segunda coluna. Para a terceira linha, somamos 7 vezes a segunda linha:
1 & 1 & 1 & | & 0 0 & 1 & 47 & | & 17 0 & 0 & 0 & | & 0

Passo 7

Agora, eliminamos o elemento acima de 1 na segunda coluna. Subtraímos a segunda linha da primeira linha:
1 & 0 & 37 & | & -17 0 & 1 & 47 & | & 17 0 & 0 & 0 & | & 0

Passo 8

Observamos que a terceira linha é toda zero, o que indica que temos infinitas soluções. Vamos atribuir um valor livre para .

Passo 9

Agora, expressamos x1 = -17 - 37t e x2 = 17 - 47t em termos de x3 = t :

Resposta

As soluções do sistema são dadas por:
x1 = -17 - 37t
x2 = 17 - 47t
x3 = t onde t in R

Exercícios relacionados