Nos itens abaixo, represente o conjunto que satisfazem a desigualdade dada.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema. A gente tem que encontrar o conjunto dos números complexos que satisfazem a desigualdade . Aqui, estamos trabalhando com números complexos e usando a ideia de distância no plano complexo para resolver a desigualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que representa. No plano complexo, o módulo de um número complexo é a distância desse número até a origem. Então, é a distância do número até a origem.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dentro do módulo. Podemos escrever como . Assim, a distância é igual a porque o módulo de uma constante multiplicativa é o valor absoluto dessa constante vezes o módulo do número complexo.

Passo 4

Agora, substituímos de volta na desigualdade:
Para simplificar, vamos dividir todos os termos por 2:
Isso significa que estamos procurando os pontos que estão a uma distância entre e do ponto no plano complexo.

Passo 5

Geometricamente, isso descreve uma “anel” ou região anular no plano complexo: todos os pontos que estão dentro de um círculo de raio 1, mas fora de um círculo menor de raio , ambos centrados em .

Resposta

O conjunto é a região anular no plano complexo centrada em com raio interno e raio externo . Em outras palavras:

Exercícios relacionados

Nas funções abaixo, determine as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem nos pontos e .
g)
Encontre a solução do problema de valor inicial.
Nos itens abaixo, represente o conjunto que satisfazem a desigualdade dada.
Determine uma forma adequada para para se usar no método dos coeficientes a determinar.
(d)