Sejam A(2,1,4), B(m, 4,5) e C(0,4,1) vértices de um triângulo.
Para que valor de m o triângulo A B C é retângulo em A ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um triângulo com vértices em , e . A pergunta é: para qual valor de esse triângulo será retângulo no ponto ? Vamos usar geometria analítica para descobrir isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um triângulo é retângulo em se os lados e forem perpendiculares. Isso significa que o produto escalar desses vetores deve ser igual a zero.

Passo 3

Vamos encontrar os vetores AB = B - A = (m - 2, 4 - 1, 5 - 4) = (m - 2, 3, 1) e AC = C - A = (0 - 2, 4 - 1, 1 - 4) = (-2, 3, -3) . Para isso, subtraímos as coordenadas dos pontos:

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar dos vetores AB cdot AC = (m - 2)(-2) + (3)(3) + (1)(-3) e = -2(m - 2) + 9 - 3 :
= -2m + 4 + 6
= -2m + 10

Passo 5

Para que o triângulo seja retângulo em -2m + 10 = 0 , o produto escalar deve ser zero:

Passo 6

Vamos resolver essa equação para encontrar -2m + 10 = 0 :
-2m = -10
m = 5

Resposta

O valor de é 5.

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