Sendo os vetores e .
Encontrar a, b e c tais que au+bv+cw=(-2,13,-5)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem três vetores: , e . A tarefa é encontrar os números , e que, quando multiplicados por esses vetores e somados, resultam no vetor . Para resolver isso, vamos usar o conceito de sistemas lineares, que envolve resolver várias equações de uma vez para encontrar os valores desconhecidos.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação dada de forma mais clara:
Isso significa:
Agora, vamos separar isso em três equações, uma para cada componente do vetor.

Passo 3

Para a primeira posição (x):
Para a segunda posição (y):
Para a terceira posição (z):
Agora temos um sistema de três equações com três incógnitas:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema usando o método de substituição. Começamos pela terceira equação, que é mais simples:
Podemos isolar :

Passo 5

Agora que temos em termos de , vamos substituir isso nas duas primeiras equações.
Primeira equação:
Simplificando:
Dividindo todos os termos por 3:
Ou seja:

Passo 6

Agora substituímos e na segunda equação:
Distribuindo:
Simplificando:
Subtraindo 9 dos dois lados:
Dividindo por -2:

Passo 7

Agora que temos , vamos encontrar :

Passo 8

E finalmente, vamos encontrar :

Resposta

Os valores são , e .

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