Sendo os vetores u=(2,3,-1), v=(1,-1,1) e w=(3,4,0).
Encontrar a, b e c tais que au+bv+cw=(-2,13,-5)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem três vetores: , e . A tarefa é encontrar os números , e que, quando multiplicados por esses vetores e somados, resultam no vetor . Para resolver isso, vamos usar o conceito de sistemas lineares, que envolve resolver várias equações de uma vez para encontrar os valores desconhecidos.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação dada de forma mais clara:
a cdot u + b cdot v + c cdot w = (-2, 13, -5)
Isso significa:
a(2, 3, -1) + b(1, -1, 1) + c(3, 4, 0) = (-2, 13, -5)
Agora, vamos separar isso em três equações, uma para cada componente do vetor.

Passo 3

Para a primeira posição (x):
2a + 1b + 3c = -2
Para a segunda posição (y):
3a - 1b + 4c = 13
Para a terceira posição (z):
-1a + 1b + 0c = -5
Agora temos um sistema de três equações com três incógnitas:
2a + b + 3c = -2 3a - b + 4c = 13 - a + b = -5

Passo 4

Vamos resolver esse sistema usando o método de substituição. Começamos pela terceira equação, que é mais simples:
-a + b = -5
Podemos isolar b = a - 5 :

Passo 5

Agora que temos 2a + (a - 5) + 3c = -2 em termos de 3a - 5 + 3c = -2 , vamos substituir isso nas duas primeiras equações.
Primeira equação:
3a + 3c = 3
Simplificando:
a + c = 1
c = 1 - a
Dividindo todos os termos por 3:
Ou seja:

Passo 6

Agora substituímos 3a - (a - 5) + 4(1 - a) = 13 e 3a - a + 5 + 4 - 4a = 13 na segunda equação:
(3a - a - 4a) + (5 + 4) = 13
Distribuindo:
-2a + 9 = 13
Simplificando:
-2a = 4
a = -2
Subtraindo 9 dos dois lados:
Dividindo por -2:

Passo 7

Agora que temos c = 1 - a = 1 - (-2) = 3 , vamos encontrar :

Passo 8

E finalmente, vamos encontrar b = a - 5 = -2 - 5 = -7 :

Resposta

Os valores são , e .

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