Determine a forma polar para z w, z / w e 1 / z colocando primeiro z e w na forma polar com argumento entre 0 e 2 pi.
(d) z = 4 * raiz(3) - 4 * i, w = -1 + i

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar as formas polares de , e . Para isso, vamos precisar transformar os números complexos e da forma retangular para a forma polar. Então, vamos usar as propriedades da forma polar para multiplicar, dividir e inverter esses números.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar na forma polar. A forma polar de um número complexo é , onde é o módulo e é o argumento.

Passo 3

Calculando o módulo de :
Agora, vamos encontrar o argumento :
Como o argumento deve estar entre 0 e , adicionamos :
Então, a forma polar de é:

Passo 4

Agora, vamos colocar na forma polar.
Calculando o m��dulo de :
Encontrando o argumento :
Como está no segundo quadrante, ajustamos o argumento:
Então, a forma polar de é:

Passo 5

Agora que temos e na forma polar, vamos calcular .
A multiplicação de números complexos na forma polar é feita multiplicando os módulos e somando os argumentos:
Substituindo:
Calculando os ângulos:
Como , subtraímos :
Então:

Passo 6

Vamos agora calcular .
A divisão de números complexos na forma polar é feita dividindo os módulos e subtraindo os argumentos:
Substituindo:
Simplificando:
Calculando os ângulos:
Então:

Passo 7

Por fim, vamos calcular .
A inversão de um número complexo na forma polar é feita invertendo o módulo e mudando o sinal do argumento:
Como e , temos:
Para manter o argumento entre 0 e , podemos escrever:

Resposta

As formas polares são:

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