(5.0 pt.) Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a equação diferencial com a condição inicial usando a transformada de Laplace. Isso significa que vamos transformar a equação do domínio do tempo para o domínio da frequência, resolver ali e depois transformar de volta. Para isso, vamos precisar saber como aplicar a transformada de Laplace em derivadas e funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembre-se que a transformada de é , onde é a transformada de . Então:
Substituindo:
Passo 3
Como , a equação fica:
Simplificando:
Passo 4
Agora, isolamos :
Passo 5
Para encontrarmos , precisamos fazer a transformada inversa. Primeiro, vamos decompor a fração em frações parciais. Escrevemos:
Multiplicando ambos os lados por :
Passo 6
Expandindo os termos:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 7
Agora, igualamos os coeficientes de ambos os lados:
Passo 8
Resolvendo o sistema:
De , temos .
Substituindo na segunda equação: .
Na terceira equação: → .
Substituindo na segunda equação:
Então:
Passo 9
Agora, substituímos os valores de , e na expressão de :
Simplificando:
Passo 10
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo: