(5.0 pt.) Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado:
y' - y = 2 cos(5t), y(0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a equação diferencial com a condição inicial usando a transformada de Laplace. Isso significa que vamos transformar a equação do domínio do tempo para o domínio da frequência, resolver ali e depois transformar de volta. Para isso, vamos precisar saber como aplicar a transformada de Laplace em derivadas e funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembre-se que a transformada de é , onde é a transformada de . Então:
Substituindo:

Passo 3

Como , a equação fica:
Simplificando:

Passo 4

Agora, isolamos :

Passo 5

Para encontrarmos , precisamos fazer a transformada inversa. Primeiro, vamos decompor a fração em frações parciais. Escrevemos:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 6

Expandindo os termos:
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 7

Agora, igualamos os coeficientes de ambos os lados:

Passo 8

Resolvendo o sistema:
  1. De , temos .
  2. Substituindo na segunda equação: .
  3. Na terceira equação: .
Substituindo na segunda equação:
Então:

Passo 9

Agora, substituímos os valores de , e na expressão de :
Simplificando:

Passo 10

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo:

Passo 11

Juntando tudo:
Fatorando :

Resposta

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