( 1.0 pt.) Determine os pontos singulares das equações diferenciais dadas e classifique cada ponto em regular e irregular.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os pontos singulares da equação diferencial dada e classificar cada um como regular ou irregular. A equação que temos é:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são pontos singulares em uma equação diferencial e como classificá-los. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações diferenciais de segunda ordem:
Comparando com a equação dada:
Percebemos que:
-
-
(porque não temos termo com ) -
Passo 3
Agora, pontos singulares são aqueles valores de
onde
. Ou seja, onde o coeficiente de
se anula. Vamos resolver
:
Isso nos dá:
Então, os pontos singulares são
e
.
Passo 4
Agora, precisamos classificar cada ponto singular como regular ou irregular. Para isso, usamos os critérios de regularidade:
Um ponto singular
é regular se as funções:
são analíticas em
. Caso contrário, é irregular.
Passo 5
Vamos começar com
:
-
, então , que é analítico. -
, que também é analítico em .
Como ambas as funções são analíticas em
, o ponto
é regular.
Passo 6
Agora, vamos para
:
- Novamente,
, então , que é analítico. -
, que não é analítico em porque causa uma divisão por zero.
Como uma das funções não é analítica em
, o ponto
é irregular.
Resposta
Os pontos singulares são
(regular) e
(irregular).