( 1.0 pt.) Determine os pontos singulares das equações diferenciais dadas e classifique cada ponto em regular e irregular.
x(x+3)² y'' - y = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os pontos singulares da equação diferencial dada e classificar cada um como regular ou irregular. A equação que temos é:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são pontos singulares em uma equação diferencial e como classificá-los. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações diferenciais de segunda ordem:
Comparando com a equação dada:
Percebemos que:
  • (porque não temos termo com )

Passo 3

Agora, pontos singulares são aqueles valores de onde . Ou seja, onde o coeficiente de se anula. Vamos resolver :
Isso nos dá:
Então, os pontos singulares são e .

Passo 4

Agora, precisamos classificar cada ponto singular como regular ou irregular. Para isso, usamos os critérios de regularidade:
Um ponto singular é regular se as funções:
são analíticas em . Caso contrário, é irregular.

Passo 5

Vamos começar com :
  • , então , que é analítico.
  • , que também é analítico em .
Como ambas as funções são analíticas em , o ponto é regular.

Passo 6

Agora, vamos para :
  • Novamente, , então , que é analítico.
  • , que não é analítico em porque causa uma divisão por zero.
Como uma das funções não é analítica em , o ponto é irregular.

Resposta

Os pontos singulares são (regular) e (irregular).

Exercícios relacionados