Para valores reais de
, podemos escrever as aproximações polinomiais
Use essas aproximações para verificar que
, onde
.
Passo 1
Vamos resumir o problema: Queremos verificar a identidade de Euler
usando aproximações polinomiais para
,
e
quando
. Para isso, precisamos usar as seguintes aproximações:
Vamos precisar lembrar que
ao longo da resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
por
na aproximação de
para obter
:
Passo 3
Agora, vamos calcular cada termo:
-
permanece como está. -
-
Substituindo de volta na expressão:
Passo 4
Simplificando os termos:
Passo 5
Agora, observe que as aproximações para
e
são:
Passo 6
Substituindo essas aproximações na identidade de Euler:
Passo 7
Comparando as duas expressões:
Vemos que ambas as expressões são iguais, o que confirma que: