Para valores reais de |x| ll 1, podemos escrever as aproximações polinomiais
& sen x approx x-x^36, cos x approx 1-x^22 & e^x approx 1+x+x^22+x^36
Use essas aproximações para verificar que e^i x=cos x+i sen x, onde i^2=-1.

Passo 1

Vamos resumir o problema: Queremos verificar a identidade de Euler sin x &approx x - x^36 cos x &approx 1 - x^22 e^x &approx 1 + x + x^22 + x^36 usando aproximações polinomiais para , e quando . Para isso, precisamos usar as seguintes aproximações:
Vamos precisar lembrar que ao longo da resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir e^i x approx 1 + i x + (i x)^22 + (i x)^36 por na aproximação de para obter :

Passo 3

Agora, vamos calcular cada termo:
  1. e^i x approx 1 + i x + (-x^2)2 + (-i x^3)6 permanece como está.
Substituindo de volta na expressão:

Passo 4

Simplificando os termos:
e^i x approx 1 - x^22 + i ( x - x^36 )

Passo 5

Agora, observe que as aproximações para cos x approx 1 - x^22 e sin x approx x - x^36 são:

Passo 6

Substituindo essas aproximações na identidade de Euler:
cos x + i sin x approx ( 1 - x^22 ) + i ( x - x^36 )

Passo 7

Comparando as duas expressões:
e^i x approx 1 - x^22 + i ( x - x^36 )
cos x + i sin x approx 1 - x^22 + i ( x - x^36 )
Vemos que ambas as expressões são iguais, o que confirma que:

Resposta

e^i x = cos x + i sin x

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